Quería hacer una pregunta sobre la diferencial parcial de la ecuación de la energía libre.
Aprendí a demostrar la ecuación de la energía libre:
\begin{aligned} \frac{F\left(N_{A}, N_{B}\right)}{k T}=& N_{A} \ln \left(\frac{N_{A}}{N}\right)+N_{B} \ln \left(\frac{N_{B}}{N}\right) \\ &+\left(\frac{z w_{A A}}{2 k T}\right) N_{A}+\left(\frac{z w_{B B}}{2 k T}\right) N_{B}+\chi_{A B} \frac{N_{A} N_{B}}{N} \end{aligned}
y luego también aprendió sobre la derivada
$$\mu_{A}=\left(\frac{\partial F} {\partial N_{A}}\right)_{T, N_{B}}$$
donde $N$ es el número total de moléculas de la mezcla, $N_A$ es el número de moléculas del tipo A y $N_B$ es el número de moléculas de tipo B tales que
$$N = N_A + N_B$$
así que intenté diferenciar la ecuación anterior utilizando esta idea:
$$\frac{\mu_{A}}{k T}=\left[\frac{\partial}{\partial N_{A}}\left(\frac{F}{k T}\right)\right]_{T, N_{B}}$$
$$=\ln \left(\frac{N_{A}}{N}\right)+1-\frac{N_{A}}{N}-\frac{N_{B}}{N}+\frac{z w_{A A}}{2 k T}+\chi_{A B} \frac{\left(N_{A}+N_{B}\right) N_{B}-N_{A} N_{B}}{\left(N_{A}+N_{B}\right)^{2}}$$
pero no pude pasar del segundo término.
Podría probar los términos
$$\ln \left(\frac{N_{A}}{N}\right) + 1$$
como fue la "regla del producto" aplicada en
$$N_{A} \ln \left(\frac{N_{A}}{N}\right)$$
y el resto del diferencial aparte de
$$-\frac{N_{A}}{N}-\frac{N_{B}}{N}$$
¿De dónde vienen estos términos?
Esta derivación tomada de aquí .
