Una duda del texto de Herstein

Question

En el texto de Herstein el mapeo $\psi:G\to\mathcal A(G):g\mapsto T_g$ se dice que es un homomorfismo donde $\mathcal A(G)$ es el grupo de todos los automorfismos de $G$ y $T_g$ el automorfismo interno correspondiente a $g\in G$ definido de la siguiente manera $T_g:G\to G:x\mapsto g^{-1}xg.$

Así que $T_{g_1}T_{g_2}$ debe ser igual a $T_{g_1g_2}$ para la elección $g_1,g_2\in G.$

Pero $T_{g_1g_2}(x)=(g_1g_2)^{-1}x(g_1g_2)=g_2^{-1}(g_1^{-1}xg_1)g_2=g_2^{-1}[T_{g_1}(x)]g_2=T_{g_2}(T_{g_1}(x))=(T_{g_2}T_{g_1})(x)$ es decir $T_{g_1}T_{g_2}=T_{g_2g_1}.$

Por favor, ayúdenme a identificar en qué me estoy equivocando.

Añadido: La discusión es la siguiente:

Answer 1

Ahora no tengo a mano el texto de Herstein (hay varios), pero es bien sabido que el mapa que mencionas da una antiisomorfismo y no un isomorfismo.

Pero no hay problema: basta con definir

$$T_g(x):=gxg^{-1}$$

y estamos bien.