Dejemos que $\varphi:[0,+\infty)\rightarrow[0,\infty)$ una función creciente, continua en $0$ y tal que $\varphi(0)=0$ . Una función $f:M\rightarrow N$ se dice que admite $\varphi$ como "módulo de continuidad" cuando $d(f(x),f(y))\leq\varphi(d(x,y))$ para cualquier $x,y\in M$ . Demostrar que $f:M\rightarrow N $ es uniformemente continua si y sólo si admite alguna $\varphi$ como "módulo de continuidad".
Pondré aquí lo que he podido hacer hasta ahora:
$\Longrightarrow:$ dado $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $d(x,y)<\delta$ implica $d(f(x),f(y))<\epsilon$ para cualquier $x,y\in M$ . Ahora construimos tal $\varphi$ . Debemos definirla creciente y tal que para $x\in[0,\delta)$ $\varphi(x)<\epsilon$ . Pero no pude pensar en una construcción buena y clara.
$\Longleftarrow$ : Dejemos que $\varphi$ un "módulo de continuidad" para $f$ . Analizamos dos casos: $f$ está acotado y no.
$i)$ si $f$ está acotado, entonces la condición $d(f(x),f(y))\leq\varphi(d(x,y))$ implica que $\varphi([0,\infty))$ también debe ser ilimitada. Por lo tanto, $\varphi$ es suryente y dado $\epsilon>0$ se puede encontrar $\delta\in[0,\infty)$ tal que $\varphi(\delta)=\epsilon.$ Por lo tanto, si $d(x,y)<\delta$ por el hecho de que $\varphi$ es creciente, para cualquier $d(x,y)<\delta$ concluimos que $d(f(x),f(y))\leq \varphi( d(x,y))<\varphi(\delta)=\epsilon.$
$ii)$ ahora si $f$ está acotado, realmente no sé cómo proceder. Cuando estaba pensando en este ejercicio estaba considerando el supremum de $f(M)$ pero $M$ es un espacio métrico. Así que esto no tiene sentido.
Eso es todo lo que se me ocurrió. Cualquier ayuda será apreciada.
