¿Podría alguien explicarme qué significa que una superficie sea línea de curvatura parametrizada ? ¿Qué significa intuitivamente y en qué se diferencia exactamente de cualquier otra parametrización? Llevo tiempo buscando la respuesta a esta pregunta, pero no consigo encontrarla ni entenderla.
Respuesta
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Cuando se tiene una superficie se puede calcular la primera y la segunda forma fundamental. Estas permiten aproximar localmente la superficie por una superficie polinómica de grado dos.
En el caso general, esta "superficie de aproximación" tiene en cada punto dos direcciones (en el plano de tangencia) para las que la curvatura es máxima. Si utiliza para la parametrización de su superficie parámetros que están en la dirección de esas líneas, se obtiene una parametrización de línea de curvatura.
Esto no siempre se define de forma única. Tomemos el ejemplo de una esfera. No podrás definir de forma única en un punto de la esfera dos direcciones con máxima curvatura, siendo la curvatura la misma en todas las direcciones.
Encontrar la parametrización de la línea de curvatura puede hacerse resolviendo ecuaciones diferenciales parciales.
