Sobre la subjetividad del mapa exponencial para grupos de Lie

Question

A pregunta reciente me hizo darme cuenta de que no conocía ninguna prueba de que la exponencial de un álgebra de Lie $\mathfrak g$ de un grupo compacto conectado de Lie $G$ es sobreyectiva. Después de pensarlo un poco, se me han ocurrido dos pruebas. La primera se basa en la relación entre las curvas exponenciales y las geodésicas. Esto es bastante técnico pero también nos da otra información útil. Sin embargo, no es de esto de lo que quiero hablar aquí.

La segunda prueba (que me parece más sencilla) se basa únicamente en la topología y dice así: Dado que $\exp$ es un homeomorfismo local, es tanto abierto como cerrado. Por lo tanto, $\exp(\mathfrak g)$ es clopen y por tanto igual a $G$ .

El problema de esta "prueba" es que también demuestra la afirmación para $G$ no compacto (lo cual es falso). Así que me pregunto (y esta es mi pregunta) qué es lo que ha fallado precisamente.

¿Se puede convertir la "prueba" mencionada en una prueba real?

Mi opinión al respecto es que $\exp$ está cerrado y se abre sólo cuando $G$ es compacto porque entonces podemos elegir un subconjunto abierto acotado $C \subset \mathfrak g$ tal que $\exp(C) = G$ y podemos utilizar la relación $\exp(A+\epsilon B) \approx \exp(A)\exp(\epsilon B)$ para concluir que $\exp$ es un homeomorfismo local en cualquier lugar de $C$ (no sólo alrededor de $0$ ). Esto implica que $\exp$ es abierto (ya que es localmente abierto) en $C$ . Además, como cualquier subconjunto cerrado de $C$ es compacta, su imagen es también compacta y por tanto cerrada en $G$ .

¿Dónde se rompe exactamente este argumento cuando $G$ no es compacto.

Answer 1

He aquí un ejemplo no compacto de la no-surjetividad de $\exp$ . Toma $\mathfrak g=\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)$ la matriz $$T=\left(\begin{array}{rr} -1&1\\0&-1\end{array}\right)$$ no está en $\exp(\mathfrak g)$ . Porque si $x\in\mathfrak g$ podemos encontrar una base en la que sea triangular, digamos $$uxu^{-1}=\left(\begin{array}{rr} a&b\\0&-a\end{array}\right)$$ Ahora hay dos casos. Si $a=0$ entonces $$u\exp(x)u^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1&b\\0&1\end{array}\right)$$ que tiene un espectro diferente al de $T$ . Si $a\neq0$ entonces $x$ es diagonalizable, y también lo es su exponencial. Como $T$ no es diagonalizable, esto termina la prueba de que $T$ no se encuentra en la imagen del mapa exponencial.

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En cualquier caso, creo que el problema con tu prueba (al menos con tu argumento geodésico), es que el mapa exponencial, aunque es un difeomorfismo local en alguna vecindad de $0_{\mathfrak g}$ no es necesariamente un difeomorfismo local cerca de todos los puntos de $\mathfrak g$ . Esto se ve fácilmente en el caso de $\mathfrak{su}(2)$ Todos los puntos a distancia $\pi$ de $0$ se envían al polo sur de $\Bbb S^3\simeq SU(2)$ por lo que la exponencial no es localmente inyectiva cerca de ninguno de esos puntos.

Answer 2

Incluso en el caso compacto, $\exp$ no es abierto. Mira el grupo Lie $SU(2)$ cuya álgebra de Lie es la de la Hércules sesgada $2 \times 2$ matrices. Mira el punto $x_0 = \left( \begin{smallmatrix} \pi i & 0 \\ 0 & - \pi i \end{smallmatrix} \right)$ en el álgebra de Lie. Podemos encontrar una vecindad abierta $U$ de $x_0$ donde los valores propios son distintos, con uno en el semiplano superior y otro en el semiplano inferior. Sea el vector propio con valor propio en el semiplano superior $\left( \begin{smallmatrix} 1 \\ z \end{smallmatrix} \right)$ Entonces $z$ es una función continua de $U$ a $\mathbb{C}$ . Al encoger $U$ podemos suponer que $|z| < 0.1$ . Del mismo modo, dejemos que el vector propio para el valor propio en el semiplano inferior sea $\left( \begin{smallmatrix} w \\ 1 \end{smallmatrix} \right)$ . De nuevo, encoge $U$ para que $|w| < 0.1$ .

Para $x \in U$ entonces, $\exp(x)$ tendrá vectores propios de la forma $\left( \begin{smallmatrix} 1 \\ z \end{smallmatrix} \right)$ y $\left( \begin{smallmatrix} w \\ 1 \end{smallmatrix} \right)$ con $|w|$ y $|z|<0.1$ .

Sin embargo, $\exp(x_0) = - \mathrm{Id}$ . Así que una vecindad arbitrariamente pequeña de $\exp(x_0)$ contendrá matrices de la forma $\left( \begin{smallmatrix} - \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{smallmatrix} \right)$ cuyos vectores propios son $\left( \begin{smallmatrix} 1 \\ \pm i \end{smallmatrix} \right)$ .