¿dónde está $x!$ adelantarse a $e^x$ ?

Question

Básicamente quiero encontrar $x > 0$ tal que $x! = e^x$ que se convierte en $ln(x!) = x$

Pero no estoy seguro de cómo lidiar con el $ln(x!)$ en el lado izquierdo. Sé que la función factorial está definida para los números reales por la distribución Gamma, pero reconozco que sé muy poco sobre esto. ¿Se puede resolver esto?

Answer 1

Si se generaliza $x!$ a $\Gamma(x+1)$ (si $x$ es un número natural, entonces se tiene la igualdad), entonces obviamente para el más pequeño $x_0$ está la solución simbólica $\Gamma(x_0+1) = e^{x_0}$ . Así que la respuesta a la pregunta es $x > x_0 = 5.290316$ donde el valor de $x_0$ se obtuvo numéricamente con MATLAB.

Answer 2

En realidad podemos demostrar la siguiente afirmación por inducción en n.

$$e^n<n!$$ para $n \geq 6$ .

Comenzamos con el caso base 6! es mucho más grande entonces $e^6$ .

Entonces suponemos que $e^k<k!$ para todos $k \geq 6$ .

A continuación, deseamos mostrar $e^{k+1} <(k+1)!$

utilizando las propiedades de estas funciones obtenemos

$$ee^k<(k+1)k!$$ entonces $$e^k<\frac{k+1}{e}k!$$ Y sabemos que $e^k$ es siempre menor que $k!$ por suposición inductiva (también hay que tener en cuenta $\frac{k+1}{e} >1)$ así que hemos terminado.

Un argumento similar podría hacerse de forma parecida para la función gamma? Tal vez

Answer 3

Es bastante fácil comprobar que

$$5!<e^5$$

$$6!>e^6$$

Por lo tanto, la solución debe estar en $5<x<6$ . Generalizamos el factorial con el Función gamma para terminar con la siguiente línea:

$$\Gamma(x+1)=e^x$$

Toma el logaritmo de ambos lados para obtener

$$\ln(\Gamma(x+1))=x$$

$$0=\ln(\Gamma(x+1))-x$$

Aplicando Método de Newton para conseguir

$$x_{n+1}=x_n-\frac{\ln(\Gamma(x_n+1))-x_n}{\psi(x_n+1)-1}$$

donde $\psi(x)$ es el función digamma . Con $x_0=5.5$ Me sale

$$\begin{array}{c|c}n&x_n\\\hline0&5.50000\\1&5.29498\\2&5.29032\\3&5.29032\end{array}$$

que es la solución fuera $5$ lugares.