He publicado esta pregunta en math stackexchange pero no he recibido respuestas. Como sé que hay más gente con conocimientos de topología geométrica y piecewise-lineal (PL) aquí, vuelvo a publicar la pregunta. Realmente me gustaría saber el estado de la cuestión, ya que estoy auto-estudiando el material por placer y no tengo a nadie para hablar de ello. Por favor, siéntanse libres de cerrar este post si creen que el tema no es apropiado para este sitio.
Estoy empezando a aprender sobre topología geométrica y teoría de colectores. Sé que hay tres grandes categorías importantes de colectores: topológicos, lisos y PL. Pero estoy viendo que mientras que las variedades topológicas y lisas son ampliamente estudiadas y hay toneladas de libros sobre ellas, la topología PL parece ser mucho menos popular hoy en día. Además, he visto en algún sitio la afirmación de que la topología PL no es hoy en día tan útil como antes para estudiar las variedades topológicas y lisas, debido a las nuevas técnicas desarrolladas en esas categorías, pero no he visto que se explique con detenimiento.
Mi primera pregunta es: ¿es correcta esta sensación sobre la topología del PL? Si es así, ¿a qué se debe? (Si se debe a las nuevas técnicas, me gustaría saber cuáles son).
Mi segunda pregunta es: si me interesa principalmente la topología y las variedades lisas, ¿merece la pena aprender topología PL?
También me gustaría saber algunos problemas abiertos importantes en el área, en qué problemas están trabajando los matemáticos en este campo hoy en día (si es que todavía es un campo de investigación activo), y algunas referencias recomendadas (libros de texto) para un principiante. He visto que los libros más citados sobre el área son de los años 60 o 70. ¿Hay algún libro de texto más moderno sobre el tema?
Gracias de antemano.
3 votos
math.stackexchange.com/questions/70634/ aborda algunas de estas cuestiones.
3 votos
Me gustan las preguntas sin numerar al final, pero por lo demás la pregunta parece algo retórica y parece llamar a un debate acalorado. Si me interesa principalmente la programación, ¿merece la pena aprender matemáticas? He oído que las matemáticas no son tan útiles como antes en informática, debido a las nuevas técnicas desarrolladas en esa materia. Patético, ¿no? Y esos libros citados por los matemáticos, ¡algunos son tan viejos!
7 votos
@Daniel: ¡Muchas gracias! @Sergei: Entiendo tu punto, pero creo que no es el mismo caso que tu analogía. Tal vez debería plantear la pregunta de esta manera: ¿es o no es la topología PL una parte integral de la educación de todo topólogo geométrico hoy en día? Y con respecto a los libros, todos sabemos que los temas en matemáticas cambian, y algunos grandes libros de texto en el pasado no se adaptan bien al estado actual del área, debido al cambio de énfasis o al descubrimiento de nuevas técnicas que hacen la vida más fácil. Por eso pregunto por los libros "más nuevos" para saber si hay referencias más adecuadas a la topología actual de PL.
1 votos
Incluso si sólo te interesan las variedades lisas, creo que vale la pena estar familiarizado con el lenguaje y las ideas básicas: algunos teoremas importantes de isotopía/incorporación (por ejemplo, el de Hudson) tienen pruebas escritas en la literatura sólo para las variedades PL, pero también se mantienen en el caso liso. Si quieres ajustar estas pruebas, tal vez sea útil hablar el lenguaje.
5 votos
La topología PL está hoy en día pasada de moda por su dificultad, como suele ocurrir en las matemáticas. Sin embargo, no es raro que después de décadas un tipo inteligente venga con nuevos descubrimientos llamativos y consiga su vuelta a la corriente principal. Espero que esto ocurra con la topología PL.