Estado de la topología PL

Question

He publicado esta pregunta en math stackexchange pero no he recibido respuestas. Como sé que hay más gente con conocimientos de topología geométrica y piecewise-lineal (PL) aquí, vuelvo a publicar la pregunta. Realmente me gustaría saber el estado de la cuestión, ya que estoy auto-estudiando el material por placer y no tengo a nadie para hablar de ello. Por favor, siéntanse libres de cerrar este post si creen que el tema no es apropiado para este sitio.

Estoy empezando a aprender sobre topología geométrica y teoría de colectores. Sé que hay tres grandes categorías importantes de colectores: topológicos, lisos y PL. Pero estoy viendo que mientras que las variedades topológicas y lisas son ampliamente estudiadas y hay toneladas de libros sobre ellas, la topología PL parece ser mucho menos popular hoy en día. Además, he visto en algún sitio la afirmación de que la topología PL no es hoy en día tan útil como antes para estudiar las variedades topológicas y lisas, debido a las nuevas técnicas desarrolladas en esas categorías, pero no he visto que se explique con detenimiento.

Mi primera pregunta es: ¿es correcta esta sensación sobre la topología del PL? Si es así, ¿a qué se debe? (Si se debe a las nuevas técnicas, me gustaría saber cuáles son).

Mi segunda pregunta es: si me interesa principalmente la topología y las variedades lisas, ¿merece la pena aprender topología PL?

También me gustaría saber algunos problemas abiertos importantes en el área, en qué problemas están trabajando los matemáticos en este campo hoy en día (si es que todavía es un campo de investigación activo), y algunas referencias recomendadas (libros de texto) para un principiante. He visto que los libros más citados sobre el área son de los años 60 o 70. ¿Hay algún libro de texto más moderno sobre el tema?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tal vez debería plantear la pregunta de esta manera: ¿es o no es la topología PL una parte integral de la educación de todo topólogo geométrico hoy en día?

Según una encuesta reciente del Comité de Planificación Central para los Estándares Universales de Educación, algunos topólogos geométricos no tienen ni idea de los vecindarios regulares, mientras que otros no han oído hablar de la transversalidad de los multijets; pero todos tienden a estar igual de entusiasmados cuando se trata de los manifiestos cúbicos de Hilbert.

algunas referencias recomendadas (libros de texto) para un principiante

Rourke-Sanderson , Zeeman , Stallings , Hudson ,

L. C. Glaser, Topología combinatoria geométrica (2 volúmenes)

¿Hay algún libro de texto más moderno sobre el tema?

En realidad no (que yo sepa), pero algunos libros más recientes relacionados con la topología PL son:

Turaev, Invariantes cuánticos de los nudos y de los 3 manifolds (capítulos sobre el mundo de las sombras)

Kozlov, Topología algebraica combinatoria (capítulos sobre la teoría de Morse discreta, la concha lexicográfica, etc.)

Matveev, Topología algorítmica y clasificación de los 3-manifolds

Homotopía 2D y teoría combinatoria de grupos

Daverman-Venema, Incrustaciones en colectores (cerca de un tercio del libro es sobre la teoría de incrustación de PL)

Benedetti-Petronio, Espinas estándar ramificadas de los 3 manifolds

Buchstaber-Panov, Acciones de los toros y sus aplicaciones en topología y combinatoria

Buoncristiano, Rourke y Sanderson, Una aproximación geométrica a la teoría de la homología (incluye el teorema de transversalidad de PL)

El principal libro de presunciones

Buoncristiano, Fragmentos de topología geométrica de los años sesenta

También me gustaría conocer algunos problemas abiertos importantes en el área, en qué problemas están trabajando los matemáticos en este campo actualmente

Voy a mencionar dos problemas.

1) El problema de Alexander, de 80 años de antigüedad, de si dos triangulaciones cualesquiera de un poliedro tienen una subdivisión estelar iterada común. Se sabe que están relacionadas por una secuencia de subdivisiones estelares y operaciones inversas (Alexander), y que tienen una subdivisión común (Whitehead). Sin embargo, la noción de subdivisión arbitraria es una noción afín y no puramente combinatoria. Sería estupendo poder demostrar al menos que para alguna familia de subdivisiones definibles en términos puramente combinatorios (por ejemplo, sustituyendo un simplex por una bola simplificadamente colapsable o construible), existen subdivisiones comunes. Véanse también las observaciones sobre el problema de Alexander de Lickorish y por Mnev , incluyendo la historia de cómo se pensó que este problema se había resuelto mediante la geometría algebraica en los años 90.

2) MacPherson's programa desarrollar un enfoque puramente combinatorio de la topología de las variedades lisas, como intentaron Biss y refutado por Mnev .

Answer 2

Me gustaría abordar otro aspecto de sus preguntas. Mi opinión es que la topología PL, o la topología lisa, son temas fundacionales para el topólogo de baja dimensión, en el sentido de que la teoría de conjuntos es un tema fundacional para la mayoría de los matemáticos. Una gran proporción de topólogos de baja dimensión utilizan los teoremas fundacionales de la topología PL como cajas negras, ciertamente sin entender o haber leído las pruebas, y de hecho pueden hacer buenas matemáticas de esa manera. En la categoría de lisos, la situación es aún peor: estoy seguro de que hay muy poca gente en el mundo que entienda la demostración del Teorema de Kirby, que es un resultado difícil, pero se utiliza en toda la topología de baja dimensión como una caja negra. De hecho, el hecho de que un difeomorfismo de $S^2$ se extiende hasta el $3$ --es fundamental, bajo el capó en todas partes, y altamente no trivial.

Así que se puede ser fabricante o consumidor. Como consumidor, quizá no necesites conocer la topología de PL más allá de lo básico que necesitas para entender la homología simplicial y otras construcciones básicas. Un consumidor más sofisticado podría necesitar más -yo no conozco, por ejemplo, una construcción lisa concreta de emparejamientos de enlace (la construcción de PL está en Schubert)- y, en general, los complejos de celdas te permiten trabajar de forma explícita y concreta. Las pruebas de PL, si lees y te preocupas por las pruebas de los resultados fundamentales, tienden a ser más cortas y fáciles que las pruebas lisas, lo que no es sorprendente porque a priori hay mucha menos estructura que tiene que ser llevada. De hecho, esta fue la razón por la que Poincaré consideró por primera vez las variedades trianguladas, debido a la facilidad técnica que le ofrecían. Como contrapunto, debo señalar el comentario de Smale en la introducción de su artículo de 1963 Estudio de algunos avances recientes en topología diferencial (que te recomiendo que leas, ya que analiza tu pregunta):

Ha resultado que los principales teoremas de la topología diferencial no dependían de los desarrollos de la topología combinatoria. De hecho, ocurre lo contrario; los principales teoremas de la topología diferencial inspiraron los correspondientes de la topología combinatoria, o bien no tienen aún contrapartida combinatoria...

Otro aspecto, nada desdeñable en el mundo actual, es que los colectores PL se adaptan mejor a los ordenadores. De hecho, este es el tema central del libro de Matveev sobre "topología algorítmica".

Por último, como pregunta de PL, nomino:

Problema abierto : Construir una unidad discreta $3$ -La teoría de Chern-Simons de dimensiones finas, compatible con la simetría gauge, sustituye las integrales de trayectoria de la imagen suave (que no están bien definidas matemáticamente) por integrales de dimensiones finitas.

Answer 3

Descargo de responsabilidad: Lo que sigue es probablemente un poco fuera de tema para este sitio, pero no más que las preguntas originales, numeradas una y dos. De hecho, sospecho que esta respuesta intenta abordar justo lo que el OP realmente quería preguntar ("¿no es inútil la topología PL?") al publicar esas dos preguntas ligeramente eufemísticas. Si hubiera un metahilo activo para cerrar esta pregunta, preferiría poner esta respuesta allí.

Algunos topólogos, quizá la mayoría, tienden a pensar que los colectores lisos y topológicos están "presentes en la naturaleza" y son los auténticos objetos de estudio de la topología geométrica, mientras que la topología PL es una construcción un tanto artificial, no natural, y que importa en la medida en que sea útil para la topología "real". He oído esta opinión explícitamente una vez, y veo mucho de este tipo de actitud en este hilo. De hecho, creo que esta filosofía/intuición es lo suficientemente conocida por casi todo el mundo como para que no sea necesario que me explaye sobre ella. Es más, sospecho que mucha gente ni siquiera es consciente de que no es la única religión posible para un topólogo, o de lo contrario serían más considerados con los herejes a la hora de exponer sus fuertes opiniones.

Me gustaría entonces discutir otra filosofía/intuición, según la cual tanto los colectores lisos como los topológicos son obviamente modelos artificiales y muy deficientes para lo que podría estar "presente en la naturaleza", mientras que el mundo del PL es mucho más "cercano a la realidad". No me considero un practicante de esta u otra religión; lo que sigue debe considerarse como dicho por un personaje de ficción, no por el autor.

1) Como es bien sabido, la predisposición a ver lo continuo y lo suave como algo más natural que lo discreto es histórica, tras siglos de preocupación por las derivadas y (posteriormente) los límites. Puede que la física cuántica y la informática cambien la tendencia, pero no suelen competir con el cálculo en la formación de un matemático, al menos no en los primeros años.

He aquí una prueba sencilla. Cuando doblas una hoja de papel, ¿cuál es el modelo intuitivo en tu imaginación: es una superficie lisa (cuando miras con una lupa el pliegue), una singularidad parecida a una cúspide (singularidad lisa genérica), o una singularidad parecida a un ángulo (singularidad PL)? Sea cual sea tu preferencia subconsciente, apuesto a que no te has basado en consideraciones de fotones individuales detectados por el ojo. Pero podrías haberla basado en tu experiencia previa con modelos abstractos de superficies, que no es independiente de la educación históricamente sesgada. (Sólo por diversión, me pregunto si tu modelo intuitivo cambiaría si la hoja de papel se dobla por segunda vez para hacer una esquina - que es inestable como una singularidad de un mapa liso $\Bbb R^2\to\Bbb R^2$ pero tiene una singularidad estable en el enlace).

2) A escala molecular, la hoja de papel, por supuesto, no se ajusta al modelo de superficie lisa, y aunque podría decirse que no es "discreta" o "PL" a escala subatómica, el modelo de superficie lisa tampoco se restablece. Del mismo modo, como es bien sabido, las ecuaciones de Maxwell y la relatividad general (que supongo que están entre las mejores razones para estudiar la topología lisa) no funcionan a escalas muy pequeñas. El problema es que esta "imperfección" de la materia no suele hacer tambalear la creencia en un espacio físico "perfecto". Pero es perfectamente coherente con la física moderna (para los que no lo sepan) que el espacio físico es algo discreto a escala sub-Planck, como en gravedad cuántica de bucles (¡que recuerda un poco a la topología de PL!). También es coherente con el conocimiento actual, y de hecho derivable en las variantes de la teoría de cuerdas en competencia, de que un volumen finito de espacio físico sólo puede contener una cantidad finita de información, como ocurre con la principio holográfico . (De hecho, no vi mucha discusión sobre posibles alternativas a este principio, muchos físicos parecen darlo por sentado). Me estoy metiendo en un terreno resbaladizo, pero la información finita no parece que pueda ser compatible con los límites que se dan en las derivadas (lo que nos devuelve al programa de MacPherson sobre los colectores diferenciales combinatorios) y especialmente con los asideros de Casson que se dan en los colectores topológicos.

El personaje de ficción dice ahora que su religión le enseña a evitar los conceptos basados en construcciones inherentemente infinitas, porque es probable que no sean naturales, en el sentido de la naturaleza física, que podría simplemente no tener espacio para ellos (¡e incluso la cuestión de si lo tiene no es obviamente significativa!). Irónicamente, esto concuerda bastante con los escritos filosóficos de Poincare, en los que argumentaba largamente que el principio de inducción matemática no es un hecho empírico.

3) El personaje de ficción continúa diciendo que no es sólo la metafísica loca la que muestra la advertencia, sino también Grothendieck con su "topología domesticada" que inspiró toda un área en la lógica (iniciada por el libro de van den Dries Topología suave y estructuras o-minimales ). He aquí una breve cita de Grothendieck:

Es esto [la inercia de la mente] lo que explica que el marco rígido de la topología general es arrastrado pacientemente por una generación tras otra de topólogos para quienes la "naturaleza salvaje" es una necesidad fatal, arraigada en la naturaleza de las cosas.

Mi aproximación a los posibles fundamentos de una topología domesticada ha sido un enfoque axiomático. En lugar de declarar [cuáles] son los "espacios mansos" deseados... he preferido trabajar en extraer qué exactamente, entre las propiedades geométricas de los conjuntos semianalíticos de un espacio $\Bbb R^n$ , permiten utilizarlos como "modelos" locales para una noción de "espacio domesticado" (aquí semianalítico), y lo que (¡esperamos!) hace que esta noción sea lo suficientemente flexible como para utilizarla eficazmente como noción fundamental para una "topología domesticada" que expresaría con facilidad la intuición topológica de las formas.

Grothendieck descarta desde el principio la PL y la topología suave como posibles formas de topología domesticada, porque

(i) no son "estables bajo las operaciones topológicas más obvias, como las operaciones de contracción-pegado", y

(ii) no están cerrados bajo construcciones como los espacios cartográficos, "que obligan a salir del paraíso de los espacios de dimensión finita".

No estoy familiarizado con las "operaciones de contracción-pegado", ni tampoco lo está Google. ¿Quizás alguien que domine el francés pueda explicar qué se supone que significa (i)? Mi primera conjetura sería que podría referirse al cilindro cartográfico, al cono cartográfico o a otras formas de colímite de homotopía, pero la topología de PL es cerrada bajo esos (colímite de homotopía finita).

Editar: En efecto, de las páginas anteriores se desprende que por "pegar" Grothendieck entiende la espacio de adición que también llama "suma amalgamada". En particular, dice:

También estaba claro que los contextos de las estructuras más rígidas que existían entonces, como el contexto "lineal a destajo", eran igualmente inadecuados -una desventaja común consistente en que no permiten, dado un par $(U,S)$ de un "espacio" $U$ y un subespacio cerrado $S$ y un mapa de encolado $f: S\to T$ para construir la correspondiente suma amalgamada.

Por supuesto, no hay ningún problema con la formación de espacios de adyacencia en el contexto de PL. Tal vez Grothendieck no era consciente de la proyección pseudo-radial o algo así. Fin de la edición

En cuanto a (ii), ahora hay existe una especie de extensión infinita de la topología PL, que incluye espacios de mapeo y colímites de homotopía infinitos hasta la equivalencia de homotopía (y, con suerte, hasta la equivalencia de homotopía uniforme, que sería más apropiada en esa configuración). Además, existen, por supuesto, los conjuntos de Kan, que son cerrados bajo Hom, pero podría decirse que no pertenecen a la topología domesticada en ningún sentido razonable porque rápidamente se vuelven incontables (en cada dimensión, en particular, hay incontables vértices) e incluso de mayor cardinalidad.

En cualquier caso, los lógicos, que trataron de establecer la aspiración de Grothendieck en un marco riguroso de definibilidad (ver La encuesta de Wilkie ), haga ahora tienen el teorema de la "tringulabilidad o-minimal y Hauptvermutung", diciendo a grandes rasgos que la topología domesticada (tal como ellos la entendían) es lo mismo que la topología PL. De forma aún más aproximada (tal vez, demasiado aproximada) se podría replantear como "la topología sin construcciones infinitas es lo mismo que la topología PL".

Aunque la topología suave se reformule algún día en términos puramente combinatorios, es muy poco probable que pueda caracterizarse mediante restricciones puramente lógicas. Desde este punto de vista, la topología lisa se justifica principalmente por su papel en las matemáticas aplicadas y las ciencias naturales, pero no es ni más ni menos fundamental que la topología simpléctica o la topología de las variedades hiperbólicas.

Answer 4

Algunos puntos que no vi mencionados arriba: los resultados básicos de la topología geométrica: teorema de la vecindad tubular, transversalidad, etc. tienen pruebas fáciles de Smooth, pruebas algo técnicas de PL, y pruebas difíciles (Kirby-Siebenmann+teoría de la cirugía) de TOP. Históricamente TOP vino después del desarrollo de Smooth y PL, pero al final, el formalismo en altas dimensiones se codificó completamente en la topología algebraica de los espacios clasificatorios $B$ Diff $=B$ O, $B$ PL $, B$ TOP. La conclusión es que muchos problemas de alta dimensión pueden "reducirse" a la topología algebraica de estos espacios clasificatorios, y por tanto no es que PL no sea interesante, sino que puede tratarse (digamos en la teoría de la cirugía, o en la teoría del suavizado) en igualdad de condiciones con las otras dos, como una caja negra, sin saber realmente nada específico sobre las tuercas y los tornillos de la topología de PL (al igual que se puede entender la mayor parte de la topología del suavizado sin conocer una demostración cuidadosa del teorema de la función implícita).

Tras el éxito de la topología de alta dimensión, el enfoque de la topología geométrica se desplazó a las bajas dimensiones a partir de principios de los años 80, y como comenta Dylan no hay diferencia entre PL y Diff en las bajas dimensiones, por lo que los métodos suaves más conocidos son suficientes, y los topólogos formados más recientemente Los topólogos con formación más reciente no tienen motivos para estudiar los métodos de PL si se centran en las bajas dimensiones.

Como estudiante de topología, probablemente sea bueno que tenga cierta familiaridad con la secuencia exacta de la cirugía, $$\mathcal{S}_{PL}(X)\to [X,G/PL]\to L(\pi_1(X))$$ y sus homólogos con PL sustituido por Diff o TOP (es decir, cuáles son los objetos y mapas en esta secuencia). Conocer los primeros grandes éxitos de su zona le permitirá apreciar mejor lo que está ocurriendo en ella ahora.

Answer 5

La topología PL es popular en la topología cuántica, donde algunos invariantes (por ejemplo, Turaev-Viro) se definen fijando una triangulación y la comprobación de la invariancia bajo algunos movimientos estándar.