¿Cómo encontrar el propagador de la lagrangiana de un vistazo?

Question

Si tengo una lagrangiana en el espacio de momento de la forma

$$ \mathcal{L} = W_\mu^{ \dagger}(p)f(p)^{\mu \nu}W_\nu(p) $$

cómo se relaciona el propagador del campo con la función $f(p)$ (por ejemplo, ¿es sólo dado por $(f(p)^{-1})_{\mu \nu}$ o alguna otra relación)?

Answer 1

La forma del propagador es sencilla: en el espacio de momento es simplemente la inversa del término que acopla sus dos bosones, como has señalado: $$G \propto f(p^2)^{-1}$$ siempre y cuando el $f(p^2)$ es efectivamente invertible.

Acertar con los índices de Lorentz no es tan trivial. Según entiendo, si se trata de bosones vectoriales, la forma más correcta sería escribir $$\mathcal{L} = P_T^{\mu\nu} f(p^2) W_\mu W_\nu$$ donde $P_T$ es un operador de proyección transversal, $P_T^{\mu\nu}f(p^2) \sim \left\langle J^\mu_a J^\nu_a \right\rangle \sim (p^2 \eta^{\mu\nu} - p^\mu p^\nu)f(p^2)$ .

Entonces el propagador será $$G_{\mu\nu} = (P_T)_{\mu\nu} f(p^2)^{-1}$$ desde $P^{\mu\nu}_T (P_T)_{\mu\nu} = 1$ .