Dado cualquier intervalo de $I=(a,b) \subset \mathbb R^+$, podemos el fin de los racionales en $I$ con un denominador-primera lexicográfica del orden, de la siguiente manera: en Primer lugar, tenemos una lista, en orden creciente de numerador, todos los $q \in I$ que tienen un denominador de $1$ cuando se escribe en términos mínimos (si lo hubiere); a continuación, tenemos una lista de todos los $q \in I$ que tienen un denominador de $2$ cuando se escribe en términos mínimos (si lo hubiere); y así sucesivamente. Por ejemplo, los racionales en $(5,6)$ sería enumerar como: $$\frac{11}{2}, \frac{16}{3}, \frac{17}{3}, \frac{21}{4}, \frac{23}{4}, \frac{26}{5}, \frac{27}{5}, \frac{28}{5}, \frac{29}{5}, \frac{31}{6}, \frac{35}{6} \dots$$ Obviamente este es un buen orden, y es similar en espíritu a las secuencias de Farey de orden $n$, a pesar de que no son la misma cosa. (En particular, el orden que yo estoy considerando aquí no es compatible con el orden usual $<$$\mathbb Q$.)
Se sabe, por ejemplo, que si $a,b$ son irracionales, a continuación, la "primera" racional en $(a,b)$ (en el sentido de que este orden) puede ser calculado mediante la comparación de la continuación de la fracción representaciones de $a$$b$.
Mis preguntas:
- ¿Este fin de tener un estándar de nombre? "Denominador-primera lexicográfica del orden" es preciso, pero torpe. Algo que no es descriptivo, pero con el nombre de una persona pegada a él (en el sabor de la "secuencia de Farey") estaría bien.
- Lo demás (como si nada) se sabe acerca de este pedido? Por ejemplo, es hay una manera de calcular el segundo (o nth) racional en $(a,b)$ el uso de fracciones continuas o algo más?
Si yo conocía a una buena respuesta a la primera pregunta, sospecho que probablemente podría hacer algún progreso en mi propio con la segunda pregunta. (Sin un nombre distintivo, este resulta ser muy duro para Google).
Para aquellos que están interesados en los antecedentes de esta cuestión, estoy trabajando en una ponencia acerca de la localización de la primera racional de la plaza en un intervalo de $(a,a+1)$ (donde el "primero" es relativo a este orden). He encontrado un montón de interesantes resultados, pero no han tenido éxito en la búsqueda de relacionados con el trabajo anterior para hacer las conexiones.
Editado para añadir: Con menos de 8 horas para ir en la bounty, pensé que podría proporcionar algunos detalles más sobre el tipo de instrucciones que me interesa. Tad de la respuesta a continuación sugiere mirar el "canónica" intervalo de $(0,1)$, pero, ¿qué acerca de los intervalos de la forma $(\sqrt{n},\sqrt{n+1})$? Considere, por ejemplo,$(\sqrt{13},\sqrt{14})$. Los racionales en este intervalo, en este buen orden, $$\frac{11}3, \frac{26}7, \frac{29}8, \frac{37}{10}, \frac{40}{11}, \frac{41}{11}, \frac{47}{13}, \frac{48}{13},\dots $$
Algunas cosas son fáciles de ver: Por ejemplo, la secuencia de los denominadores $$(d_n): 3, 7, 8, 10, 11, 11, 13, 13, \dots$$ puede tener tanto salta y se repite. Como se señaló anteriormente, el primer término de la secuencia (es decir,$\frac{11}3$) puede ser calculado mediante la comparación de las fracciones continuas para$\sqrt{13}$$\sqrt{14}$. Hay un modo análogo para el cálculo de la segunda o nésimo término de la secuencia? Hay otras propiedades conocidas de estas secuencias?
