Necesito calcular la transformada de Fourier de $x(t) = \cos(t)\sin(t)$ .
Sabemos que $\delta(w) = \mathcal{F}[1](w) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-jwt}dt \\$ .
Y $\mathcal{F}[x(t)](w) = \mathcal{F}[\cos(t)\sin(t)](w) = \frac{1}{2\pi}\mathcal{F}[\cos(t)](w) \circledast \mathcal{F}[\sin(t)](w)$ .
Así que calculé : \begin{split} \mathcal{F}[\cos(t)](w) &= \int_{-\infty}^{\infty}\cos(t)e^{-jwt}dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}(e^{jt}+e^{-jt})e^{-jwt}dt \\ &= \frac{1}{2} \Big ( \int_{-\infty}^{\infty}e^{jt}e^{-jwt}dt + \int_{-\infty}^{\infty}e^{-jt}e^{-jwt}dt \Big ) \\ &= \frac{1}{2} \Big ( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-jt(w-1)}dt + \int_{-\infty}^{\infty}e^{-jt(w+1)}dt \Big ) \\ &= \frac{1}{2} \big ( \delta(w-1)+\delta(w+1) \big ) \end{split}
y \begin{split} \mathcal{F}[\sin(t)](w) &= \int_{-\infty}^{\infty}\sin(t)e^{-jwt}dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}j(e^{-jt}-e^{jt})e^{-jwt}dt \\ &= \frac{1}{2}j \Big ( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-jt}e^{-jwt}dt - \int_{-\infty}^{\infty}e^{jt}e^{-jwt}dt \Big ) \\ &= \frac{1}{2}j \Big ( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-jt(w+1)}dt - \int_{-\infty}^{\infty}e^{-jt(w-1)}dt \Big ) \\ &= \frac{1}{2}j \big ( \delta(w+1)-\delta(w-1) \big ) \end{split}
Finalmente calculé la convolución :
$\begin{split} \mathcal{F}[x(t)](w) = \mathcal{F}[\cos(t)\sin(t)](w) &= \frac{1}{2\pi}\mathcal{F}[\cos(t)](w) \circledast \mathcal{F}[\sin(t)](w) \\ &= \frac{1}{2\pi}\frac{1}{2}\frac{1}{2}j \big ( \delta(w-1)+\delta(w+1) \big ) \circledast \big ( \delta(w+1)-\delta(w-1) \big ) \\ &= \frac{1}{8\pi}j \big ( \delta(w-1)+\delta(w+1) \big ) \circledast \big ( \delta(w+1)-\delta(w-1) \big ) \\ &= \frac{1}{8\pi}j \big ( \delta(w+2)-\delta(w-2) \big ) \end{split}$
Usando Matlab y wolframalpha para verificar esto, terminé en :
El resultado de mi transformada de fourier que es el resultado de la convolución me dio $$\frac{1}{8\pi}j \big ( \delta(w+2)-\delta(w-2) \big )$$
Pero ya no tengo ninguna parte real.. y mi parte imaginaria no es como en la trama. Usando wolframalpha, debería tener algo como : $$ aj\big (-\delta(w+2)+\delta(w-2) \big )$$ lo cual es correcto según la trama imaginaria.
¿Dónde está mi error? Y cómo puedo calcular analíticamente la fase utilizando $\arctan$ si ya no tengo ninguna parte real? ¿Cómo puedo calcular analíticamente la magnitud también? La respuesta de Wolframalpha tampoco tiene parte real, ¿cómo puedo tener una en mis gráficos?
Gracias por las aclaraciones.
