Si tengo un experimento que tiene $1000$ ensayos, y $10$ % de las veces hay un error, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que tenga $125$ ¿fracasos? Me he dado cuenta de que $\mu =100$ y $\sigma =9.4868$ . Estoy tratando de aproximarme con una distribución normal, ya que con esta cantidad de ensayos, y el hecho de que cada experimento es independiente el número total de fallos debería estar distribuido normalmente. Así que planteo mi problema así $$P(X\le 125)=P\left(z\le \frac{125-100}{\frac{9.4868}{\sqrt{1000}}}\right)=\Phi\left(\frac{125-100}{\frac{9.4868}{\sqrt{1000}}}\right)$$ Pero no hay manera de que con la probabilidad $1$ hay como máximo $125$ errores. Entonces, ¿qué me falta?
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El teorema de DeMoivre-Laplace dice que si $X$ es una variable aleatoria binomial con parámetros $(n,p)$ entonces $$P\{a < X < b\} \approx \Phi\left(\frac{b-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) - \Phi\left(\frac{a-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$$ y así, para su problema, $$P\{X \leq 125\} \approx \Phi\left(\frac{125-100}{\sqrt{1000\cdot 0.1\cdot 0.9}}\right) = \Phi\left(\frac{25}{\sqrt{90}}\right)$$ Se trata de una forma del teorema del límite central aplicado a las variables aleatorias binomiales.
Para una aplicación más estándar del teorema del límite central, observe que si $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n}$ son variables aleatorias independientes con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ , entonces el teorema central del límite dice que la FCD de $(Y_1+Y_2+\cdots+Y_{n} - n\mu)/\sigma\sqrt{n}$ se aproxima por la FCD de una variable aleatoria normal estándar $Z$ . Si el $Y_i$ son variables aleatorias Bernoulli con el parámetro $p$ (y por lo tanto significa $p$ y la varianza $p(1-p)$ desviación estándar $\sigma = \sqrt{p(1-p)}\, $ ), entonces $$\frac{(Y_1+Y_2+\cdots+Y_{1000})-1000p}{\sigma\sqrt{1000}} = \frac{(Y_1+Y_2+\cdots+Y_{1000})-100}{\sqrt{0.1\cdot 0.9}\sqrt{1000}} = \frac{X-100}{\sqrt{90}}$$ tiene aproximadamente la misma FCD que una variable aleatoria normal estándar $Z$ . Por lo tanto, $$P\{X \leq 125\} \approx P\left\{Z \leq \frac{25}{\sqrt{90}}\right\} = \Phi\left(\frac{25}{\sqrt{90}}\right)$$ tal y como obtuvimos del teorema de Demoivre-Laplace.
Anthony Shaw
Puntos
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Se está calculando el valor por sobrepasar $83$ desviaciones estándar por encima de la media. Las posibilidades de superar esa media son aproximadamente $$ \frac1{\sqrt{2\pi}}\frac1{83}e^{-83^2/2} $$ que es muy pequeño; $\sim2.5\times10^{-1494}$ . Por lo tanto, la probabilidad de obtener menos de 83 desviaciones estándar es aproximadamente $1$ .
Sin embargo, como señala Dilip Sarwate, deberíamos utilizar la desviación estándar de $9.4868$ y no $\frac{9.4868}{\sqrt{1000}}$ . Eso nos sitúa en $2.6352$ desviaciones estándar por encima de la media para $0.99580$ probabilidad.
