consecuencia de la existencia de raíces cuadradas de los elementos de los grupos cocientes

Question

Me quedo con lo siguiente (de C. Pinter Un libro de álgebra abstracta , 2ª ed., p. 153 ex. C 4.)

Dejemos que $G$ sea un grupo y $N$ un subgrupo normal de $G$ . Supongamos que cada elemento del grupo cociente $G/N$ tiene una raíz cuadrada. Demuestra que para cada $x \in G$ existe $y \in G$ tal que $xy^2 \in N$ .

Utilice el hecho de que $Na = N \Leftrightarrow a \in N$ , donde $a \in G$ y $Na$ es el coset derecho de $N$ por $a$ .

Mi primer intento fue el siguiente:

Dejemos que $Nx$ (donde $x \in G$ ) sea cualquier coset de $N$ (es decir, un miembro de $G/N$ ). Por hipótesis tiene raíz cuadrada, por lo que existe $y \in G$ tal que $Nx = (Ny)^2$ . Por la definición de la multiplicación del coset, esto significa $Nx = Ny^2$ Por lo tanto $(Nx)^{-1} Ny^2 = N$ ya que $N$ es la identidad de $G/N$ . Esto significa que $N(x^{-1}y^2) = N$ y por el resultado antes mencionado, $x^{-1}y^2 \in N$ .

Pero lo que estoy tratando de probar es $xy^2 \in N$ no $x^{-1}y^2 \in N$ ... Y no veo ninguna razón para pensar que $x^{-1}y^2 \in N \Rightarrow xy^2 \in N$ .

La solución (parcial) es que el libro me confirma que los primeros pasos son correctos, pero luego obviamente algo estoy entendiendo mal. ¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Ha demostrado que para la arbitrariedad $x\in G$ Hay un poco de $y$ tal que $x^{-1}y^2 \in N$ . Como $x$ abarca todos los elementos de $G$ También lo hace $x^{-1}$ Así que esto es suficiente.

Alternativa: empezar con $Nx^{-1}$ en lugar de $Nx$ .

Answer 2

Ok, usando la respuesta de @universalset, aquí hay una solución completa.

Dejemos que $x \in G$ . $G$ ser un grupo, $x$ tiene un inverso, $x^{-1}$ , en $G$ y el coset $N(x^{-1})$ es un miembro del grupo cociente $G/N$ . Por hipótesis, $N(x^{-1})$ tiene raíz cuadrada, es decir, existe $y \in G$ tal que $N(x^{-1}) = (Ny)^2$ . Multiplicando a la izquierda por $Nx$ obtenemos $N = Nx (Ny)^2$ es decir, $N(xy^2) = N$ de lo que se deduce que $xy^2 \in N$ , según se desee.

Ahora, supongamos que para cualquier $x \in G$ hay un $y \in G$ tal que $xy^2 \in N$ . Sea $Na$ sea cualquier elemento de $G/N$ , donde $a \in G$ . Entonces $a^{-1} \in G$ y, por hipótesis, existe $b \in G$ tal que $a^{-1}b^2 \in N$ . Entonces $N = N(a^{-1}b^2) = N(a^{-1})Nb^2 \Rightarrow Na = (Nb)^2$ En otras palabras, $Na$ tiene una raíz cuadrada.