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¿Se explica la tabla de Mendeleev en la mecánica cuántica?

¿Sabe alguien si existe una explicación matemática de la tabla de Mendeleev en la mecánica cuántica? En algunos libros de texto (por ejemplo en "F.A.Berezin, M.A.Shubin. La ecuación de Schrödinger") los autores presentan la mecánica cuántica como un sistema axiomático, por lo que cabría esperar que hubiera una deducción desde los axiomas hasta los principales resultados de la disciplina. Me pregunto si existe una demostración matemática de la tabla de Mendeleev.

P.D. Espero que lo siguiente no resulte ofensivo para los físicos: por demostración matemática entiendo una cadena de implicaciones lógicas desde los axiomas de la teoría hasta su teorema. Esto es normal en matemáticas. Como ejemplo, en el libro de Griffiths no veo axiomas en absoluto, por lo que no puedo tratar los razonamientos de las páginas 186-193 como una prueba de la tabla de Mendeleiev. Por cierto, por eso no quise hacer esta pregunta en un foro físico: No creo que la gente allí entienda mi pregunta. Sin embargo, después de la sugerencia de Bill Cook hice un experimento - y puedes ver los resultados aquí: https://physics.stackexchange.com/questions/16647/is-the-mendeleev-table-explained-in-quantum-mechanics

Así que pido a mis colegas-matemáticos que sean tolerantes.

P.P.D. Después de cerrar este tema y reabrirlo de nuevo he recibido muchas sugerencias para reformular mi pregunta, ya que en su forma original podría parecer demasiado vaga para los matemáticos. Así que supongo que será útil añadir aquí, que por la tabla de Mendeleiev me refiero (no sólo a una imagen, como se puede pensar, sino) a un sistema de proposiciones sobre la estructura de los átomos. Por ejemplo, como escribí aquí en los comentarios, la tabla de Mendeleev establece que la primera órbita electrónica (cáscara) puede tener sólo 2 electrones, la segunda - 8, la tercera - de nuevo 8, la cuarta - 18, y así sucesivamente. Otra regularidad es la estructura de las subcáscaras, etc. Así que mi pregunta es si ya se ha demostrado que estas regularidades (quizás no todas, pero sí algunas de ellas) son corolarios de un sistema de axiomas como los del libro de Berezin-Shubin. Por supuesto, esto supone que las nociones como átomos, cáscaras, etc. deben estar correctamente definidas, de lo contrario no se podrían formular los enunciados correspondientes. Considero esto como una parte de mi pregunta -- si los expertos explicarán que las definiciones razonables no se encuentran por ahora, esto significará automáticamente que la respuesta es "no".

La siguiente reformulación de mi pregunta fue sugerida por Scott Carnahan en http://mathoverflow.tqft.net/discussion/1202/should-a-mathematician-be-a-robot/#Item_0 : "¿Tenemos los medios matemáticos para dar una descripción suficientemente precisa de las propiedades químicas de los elementos a partir de los primeros principios de la mecánica cuántica, de manera que la tabla de Mendeleiev se convierta en un esquema organizativo natural?"

Espero que esto aclare la cuestión.

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Puede que desee publicar esta pregunta en teoriafisica.stackexchange.com

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Le sugiero que reformule su pregunta en términos puramente matemáticos. Tal y como está planteada, es mejor plantearla en el stackexchange de física teórica (como menciona Bill Cook). Sin embargo, aquí hay una pregunta matemática, pero usted no la ha formulado.

0 votos

Jacques, ¿qué tienes en mente?

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Kevin Albrecht Puntos 2527

No me ofende la sugerencia de que los físicos sigan las normas de la prueba matemática, pero creo que esta sugerencia y la formulación de la pregunta demuestran una falta de comprensión de cómo piensan los físicos sobre estas cosas y, más importante, por qué ponen tan poco énfasis en los axiomas.

En mi opinión, rara vez es útil pensar en la física como un sistema axiomático, y creo que esta pregunta refleja la dificultad de pensar en ella como tal. Una pregunta diferente, que está mucho más en sintonía con el punto de vista de un físico punto de vista de un físico, sería preguntar qué descripción física se requiere para explicar varias características de la estructura de los átomos tal y como se refleja en la tabla periódica con un nivel de precisión prescrito. Hasta que no se especifique qué características se quieren entender, y con qué nivel de precisión, ni siquiera se sabe cuál debe ser el punto de partida correcto. Si sólo quieres la estructura más cruda de la tabla periódica, entonces la mecánica cuántica no relativista junto con el principio de exclusión de Pauli te dará la estructura aproximada tal y como se describe en cualquier libro de texto de MQ estándar. Si quieres entender los números cuánticos detallados de los átomos grandes, entonces tienes que empezar a incluir los efectos relativistas. El acoplamiento espín-órbita es uno de los más importantes y sus efectos se resumen a menudo con un conjunto de reglas de Hund que se describen en muchos libros de texto de QM o de química física. Si quieres valores numéricos muy precisos para las energías de ionización o la estructura detallada de las funciones de onda, entonces hay que hacer un duro trabajo numérico que probablemente se vuelve imposiblemente difícil para los átomos grandes. A medida que se pide una precisión cada vez mayor, se debe utilizar finalmente una descripción totalmente relativista. Esto es aún más difícil. La ecuación de Dirac no es suficiente, no se puede restringir a un espacio de Hilbert con un número finito de número finito de partículas en una teoría cuántica relativista, y los problemas de estado límite en la teoría cuántica de campos son notoriamente difíciles. Así que, a medida que uno se plantea preguntas más detalladas y precisas, tiene que ir cambiando el marco matemático utilizado para formular la teoría. Por supuesto, este proceso podría terminar y podría una formulación axiomática de alguna teoría final de la física, pero incluso si este fuera el caso, esto no sería, sin duda, la formulación más útil para la mayoría de los problemas de interés práctico.

17 votos

La tabla de Mendeleiev no es un teorema matemático. Es un método para organizar los átomos en grupos con propiedades químicas similares. La mecánica cuántica es un marco que incluye la ecuación no relativista de Schrödinger y la teoría cuántica de campos. Si el candidato quiere saber si X puede demostrarse de forma matemáticamente rigurosa a partir de Y, ¿no es razonable pedir una definición matemáticamente precisa tanto de X como de Y?

11 votos

@Jeff Harvey: Creo que es bastante razonable preguntar sin precisar las afirmaciones. Encontrar la formulación correcta de una idea informal suele ser tan difícil como demostrarla, o incluso más. Por supuesto, muchos enunciados son demasiado vagos para constituir una pregunta interesante; pero lo que hace que ésta sea buena, creo, es que aunque no tengamos necesariamente en mente un enunciado formal preciso, "lo sabemos cuando lo vemos" como en la respuesta de Terry Tao, empezamos a verlo.

8 votos

@Jeff Hervey: Hacer preguntas sobre cosas que no están definidas con precisión es una tradición en matemáticas. Por ejemplo, los matemáticos discutieron los problemas de la teoría de la probabilidad mucho antes de que Kolmogorov (en 1933) diera sus axiomas de la probabilidad (sólo después de que la probabilidad obtuviera una definición precisa). Mi pregunta es sólo otro ejemplo: en los libros de física matemática (por ejemplo, en el libro de Berezin-Shubin) se habla muy a menudo de los átomos, que, según tengo entendido, no están definidos por ahora. Si pueden hablar de átomos, ¿por qué no pueden hablar de la tabla de Mendeleiev, que describe propiedades de los átomos?

34voto

steevc Puntos 211

Hay un trabajo riguroso de Goddard y Friesecke sobre esto, ver

http://www.ma.hw.ac.uk/~chris/icms/GeomAnal/friesecke.pdf

Según tengo entendido, incluso la obtención de datos numéricos precisos para la ecuación de Schrodinger se vuelve muy difícil cuando hay más de 10 electrones en juego. El único régimen en el que parece haber una buena asintótica es cuando el número atómico es grande pero el número de electrones es pequeño (es decir, átomos pesados extremadamente ionizados).

En cualquier caso, los fundamentos de la tabla periódica son bastante indiscutibles (es decir, la ecuación de Schrodinger fermiónica de N cuerpos con interacciones de Coulomb semiclásicas como única fuerza significativa). La principal dificultad es poder resolver las ecuaciones resultantes matemáticamente (o incluso numéricamente).

0 votos

Terry, muchas gracias por tu respuesta, pero tu enlace es sólo una presentación, no contiene ni siquiera referencias... Me gustaría dar las gracias también a las demás personas que escribieron las respuestas. Así que, queridos colegas, por lo que entiendo, llegamos a la conclusión de que desde el punto de vista de la lógica la tabla de Mendeleev no se explica en la mecánica cuántica... :)

6 votos

Las referencias a los trabajos citados en las diapositivas anteriores pueden encontrarse en www-m7.ma.tum.de/bin/view/Analysis/ElectronicStructure

0 votos

Es extraño llamar "riguroso" a un tratamiento en el que la carga del núcleo es mucho mayor que el número de electrones. En los casos considerados ambos son alrededor de 10 - ¡algún tipo de número grande! Además, en las reacciones químicas los átomos están débilmente ionizados, casi neutros, por lo que de hecho $N\approx Z$ . Las palabras "utilizar el modelo de fermiones que no interactúan" ocultan claramente gran parte del trabajo y suponen un enorme salto de fe desde la ecuación inicial hasta la respuesta.

21voto

Nathan Baulch Puntos 7994

Dudo que cualquier respuesta sea satisfactoria. Mi opinión es que aún estamos muy lejos de una justificación matemática. Si aceptamos los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, y si hacemos la aproximación de que el núcleo del átomo es sólo una cosa pesada con $N$ cargas positivas, entonces el movimiento de la $N$ electrones se rige por una ecuación lineal (Schrödinger) en ${\mathbb R}^{3N}$ . La incógnita es una función $\psi(r^1,\ldots,r^N,t)$ con la propiedad (exclusión de Pauli) de que tiene una completa simetría oblicua. Por ejemplo, $$\psi(r^2,r^1,\ldots,r^N,t)=-\psi(r^1,r^2,\ldots,r^N,t).$$ En la práctica, buscamos estados estables $e^{i\omega t}\phi(r^1,r^2,\ldots,r^N)$ . Entonces $\omega$ es el nivel de energía.

Debido a la gran dimensión del espacio, no se pueden realizar cálculos fiables en el ordenador, cuando $N$ es mayor que unas pocas unidades. Un intento de simplificar el problema ha sido postular que $\phi$ es un Determinante de la dispersión lo que significa que $$\phi(r^1,r^2,\ldots,r^N)=\|a_i(r^j)\|_{1\le i,j\le N}.$$ La incógnita es entonces un $N$ -pareja de funciones $a_i$ en ${\mathbb R}^3$ . Por supuesto, no esperamos que los estados estables sean realmente determinantes de Slater; después de todo, la ecuación de Schrödinger no preserva la clase de determinantes de Slater. Por tanto, hay que pagar un precio, que es sustituir la ecuación de Schrödinger por otra, obtenida mediante un proceso de promediación (modelo Hartree--Fock). El inconveniente es que la nueva ecuación es no lineal. Tales estados aproximados han sido estudiados por P.-L. Lions & I. Catto en los años 90.

Actualización . Supongamos que $N=2$ sólo. Si pensamos en $\phi$ como un objeto de dimensión finita en lugar de un $L^2$ -entonces no es más que una matriz asimétrica $A$ . Aproximación à la Slater consiste en escribir $A\sim XY^T-YX^T$ , donde $X$ y $Y$ son vectores. En otras palabras, una aproximación $A$ por una matriz simétrica de rango dos. La aproximación debe hacerse en términos de la norma de Hilbert-Schmidt (también llamada Frobenius, Schur): esta norma es natural debido al requisito $\|\phi\|_{L^2}=N$ . Si $\pm a_1,\ldots,\pm a_m$ son los pares de valores propios de $A$ con $0\le a_1\le\ldots\le a_m$ entonces la mejor aproximación de Slater $B$ satisface $\|B\|^2=2a_m^2$ , $\|A-B\|^2=2(a_1^2+\cdots+a_{m-1}^2)$ . No es tan bueno. Imagínese cuánto peor puede ser si $N$ es mayor que $2$ .

8 votos

Aunque ninguna respuesta sea satisfactoria, he comprobado que las respuestas a esta pregunta son muy interesante ...

2 votos

El OP hace dos preguntas completamente diferentes: (1) "[...] si existe una explicación matemática de la tabla de Mendeleev en mecánica cuántica? "(2) "¿existe una demostración matemática de la tabla de Mendeleiev? [...] por demostración matemática entiendo una cadena de implicaciones lógicas a partir de axiomas de la teoría [...]" En esta respuesta se habla del uso de aproximaciones, lo cual es irrelevante tanto para 1 como para 2. La respuesta a 1 es sí, y la necesidad de hacer aproximaciones no afecta a la validez de la explicación. La respuesta a 2 es no, simplemente porque las teorías físicas no son sistemas axiomáticos.

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Ben, deberías explicarte, esto suena fuerte: "La respuesta a 1 es sí". Y esto también: "las teorías físicas no son sistemas axiomáticos". ¿Y la mecánica clásica? ¿O la teoría de la probabilidad?

7voto

Molly Puntos 9

Depende de lo que se entienda por prueba. Ni siquiera la función de onda del átomo de helio puede obtenerse de forma cerrada (como la función de onda del átomo de hidrógeno), por lo que cualquier resultado sobre la tabla periódica tendrá algún nivel de aproximación o suposiciones fenomenológicas. Dicho esto, existen referencias que explican las características cualitativas (y cuantitativas) de la tabla periódica basándose en los principios de la mecánica cuántica. El libro de Griffiths Quantum Mechanics, por ejemplo, tiene una discusión muy rápida de la tabla periódica alrededor de las páginas 186-193. No es muy completo, y tampoco es cuantitativo en su mayor parte, pero ilustra muy bien cómo la mecánica cuántica da lugar a la estructura de la tabla periódica.

2voto

Anton Fetisov Puntos 2092

Depende claramente de lo que se entienda por la Tabla Periódica de los elementos. Como se suele decir, es una afirmación vaga y estrictamente falsa, pero que suele ser suficiente, sobre las similitudes de las propiedades químicas de los distintos átomos. En cualquier caso no se repiten exactamente, sólo con un determinado grado de exactitud y si te olvidas de algunos comportamientos mucho más exóticos, no comunes en las reacciones. Si realmente intentas especificar todo esto, estarás mucho mejor con el enfoque común de la teoría de perturbaciones que se encuentra en los libros de texto de QM. Claro, en cierto sentido también define lo que se está calculando, pero tampoco hay otra forma de definir estas propiedades (al menos yo no conozco ninguna). Analizar el orden de la teoría de la perturbación es una tarea matemáticamente trivial, aunque tediosa, pero apenas puede haber una forma de justificar el orden de la TP de forma rigurosa, simplemente funciona. O no lo hace.

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Anton, no he entendido esto: "Como suele decirse, es un concepto vago y, en sentido estricto, falso". ¿Vago e incluso falso?

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Trivialmente, no es una afirmación matemáticamente precisa, por lo que según los estándares del rigor total es imprecisa. Es más precisa (muy precisa) en la predicción de las configuraciones electrónicas del estado fundamental, pero menos precisa en la predicción de las propiedades químicas. Las excepciones son raras, especialmente para pesos atómicos bajos, pero existen y son bien conocidas por los químicos. Yo no soy químico, así que me limitaré a dar algunos enlaces sencillos: chemwiki.ucdavis.edu/Inorganic_Chemistry/ es.wikipedia.org/wiki/

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Resultó (y esto no era obvio para mí al principio) que lo que afirma la tabla de Mendeleiev no puede ser enunciado matemáticamente en absoluto, ya que las nociones como átomos, electrones, envolturas, etc., no están definidas con precisión. Creo que los participantes de esta discusión, que protestan contra la "formulación vaga de la pregunta", deberían escribir una carta colectiva a una revista como "Notices of the AMS" protestando contra el uso de palabras como "átomo", "electrón", etc., en física matemática, ya que estas nociones no tienen definiciones precisas.

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