¿Sabe alguien si existe una explicación matemática de la tabla de Mendeleev en la mecánica cuántica? En algunos libros de texto (por ejemplo en "F.A.Berezin, M.A.Shubin. La ecuación de Schrödinger") los autores presentan la mecánica cuántica como un sistema axiomático, por lo que cabría esperar que hubiera una deducción desde los axiomas hasta los principales resultados de la disciplina. Me pregunto si existe una demostración matemática de la tabla de Mendeleev.
P.D. Espero que lo siguiente no resulte ofensivo para los físicos: por demostración matemática entiendo una cadena de implicaciones lógicas desde los axiomas de la teoría hasta su teorema. Esto es normal en matemáticas. Como ejemplo, en el libro de Griffiths no veo axiomas en absoluto, por lo que no puedo tratar los razonamientos de las páginas 186-193 como una prueba de la tabla de Mendeleiev. Por cierto, por eso no quise hacer esta pregunta en un foro físico: No creo que la gente allí entienda mi pregunta. Sin embargo, después de la sugerencia de Bill Cook hice un experimento - y puedes ver los resultados aquí: https://physics.stackexchange.com/questions/16647/is-the-mendeleev-table-explained-in-quantum-mechanics
Así que pido a mis colegas-matemáticos que sean tolerantes.
P.P.D. Después de cerrar este tema y reabrirlo de nuevo he recibido muchas sugerencias para reformular mi pregunta, ya que en su forma original podría parecer demasiado vaga para los matemáticos. Así que supongo que será útil añadir aquí, que por la tabla de Mendeleiev me refiero (no sólo a una imagen, como se puede pensar, sino) a un sistema de proposiciones sobre la estructura de los átomos. Por ejemplo, como escribí aquí en los comentarios, la tabla de Mendeleev establece que la primera órbita electrónica (cáscara) puede tener sólo 2 electrones, la segunda - 8, la tercera - de nuevo 8, la cuarta - 18, y así sucesivamente. Otra regularidad es la estructura de las subcáscaras, etc. Así que mi pregunta es si ya se ha demostrado que estas regularidades (quizás no todas, pero sí algunas de ellas) son corolarios de un sistema de axiomas como los del libro de Berezin-Shubin. Por supuesto, esto supone que las nociones como átomos, cáscaras, etc. deben estar correctamente definidas, de lo contrario no se podrían formular los enunciados correspondientes. Considero esto como una parte de mi pregunta -- si los expertos explicarán que las definiciones razonables no se encuentran por ahora, esto significará automáticamente que la respuesta es "no".
La siguiente reformulación de mi pregunta fue sugerida por Scott Carnahan en http://mathoverflow.tqft.net/discussion/1202/should-a-mathematician-be-a-robot/#Item_0 : "¿Tenemos los medios matemáticos para dar una descripción suficientemente precisa de las propiedades químicas de los elementos a partir de los primeros principios de la mecánica cuántica, de manera que la tabla de Mendeleiev se convierta en un esquema organizativo natural?"
Espero que esto aclare la cuestión.
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Puede que desee publicar esta pregunta en teoriafisica.stackexchange.com
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Le sugiero que reformule su pregunta en términos puramente matemáticos. Tal y como está planteada, es mejor plantearla en el stackexchange de física teórica (como menciona Bill Cook). Sin embargo, aquí hay una pregunta matemática, pero usted no la ha formulado.
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Jacques, ¿qué tienes en mente?
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@Bill Cook - ese es un consejo terrible. la física teórica es específicamente para nivel de investigación preguntas, mientras que ésta parece más adecuada para física.stackexchange.com (la diferencia entre estos dos sitios es la misma que entre MO y Math.SE)
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"cerrado como fuera de tema por Greg Kuperberg, Mark Sapir, Todd Trimble, Ryan Budney, Alain Valette hace 30 mins" @ Greg Kuperberg, Mark Sapir, Todd Trimble, Ryan Budney, Alain Valette - gentelemen, puedo preguntarles, ¿por qué decidieron que esto es off topic?
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Está fuera de tema porque la tabla periódica es química antes que cualquier otra cosa, y la ecuación de Schrödinger es física antes que cualquier otra cosa. Es una gran pregunta de química y física, pero como pregunta estrictamente matemática es irremediablemente arcana. Podría haber alguna pregunta matemática relacionada que sea razonable, pero una revisión de tu pregunta es una incógnita.
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@Greg: 1) si haces esta "gran pregunta de química y física" a químicos o físicos, te tratarán de idiota (y esto es lo que me pasó a mí en theoreticalphysics.stackexchange.com/questions/473/ ). Porque no entienden lo que es la lógica. Si no fuera así, no habría contradicciones entre lo que se escribe aquí y lo que se escribe allí: "Sí, la mecánica cuántica... - explica completa, cuantitativa y exhaustivamente toda la química...". Así que sigo pensando que debería dirigirme a los matemáticos.
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@Greg: 2) ¿sería adecuada la siguiente revisión de mi pregunta? "¿deberíamos tratar los postulados de la mecánica cuántica como axiomas de un sistema axiomático?".
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@Mark: 1) si los físicos no me convencieran, como Luboš Motl en su foro de física, de que todo está "plena, cuantitativa y exhaustivamente" explicado, no haría esta pregunta aquí. Pero sus argumentos son siempre tan definitivos, inflexibles, inequívocos (y yo diría que en cierto sentido ofensivos, ¿no te lo parecen? :), que empiezas a pensar que tal vez lees libros equivocados, y si preguntas a matemáticos interesados en etiquetas como "mecánica cuántica", te darán una explicación, que podría ser verificada (como suele ocurrir con los matemáticos).
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@Mark: 2) con respecto a esto: "No existe la opción "la pregunta no tiene sentido" en la lista de opciones de cierre". -- No soy yo quien pretende que la mecánica cuántica se basa en "postulados", por lo que esta es pulery matemática (si se quiere, lógica) pregunta, si esta pretensión se puede considerar como una presentación de una teoría axiomática. ¿No tiene sentido?
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@Mark: de esta discusión se deduce que hay una diferencia cualitativa entre la mecánica (como parte de la geometría diferencial) y la mecánica cuántica (como parte de lo que tú dices): en el primer caso se trata de un sistema axiomático, mientras que en el segundo no. Y esto no es obvio para los no especialistas como yo. Por eso, al apelar a los colegas, pensé que podía contar con su comprensión, ya que ellos al menos son capaces de entender mi pregunta. Pero lo que veo aquí por parte de los moderadores no se llama comprensión, esto se parece mucho más a la grosería ("hamstvo" en ruso, ¿no? :).
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@Mark: Supongo que esto significa que no crees que sea matemático. Usted puede comprobar esto por el enlace que di en mi página aquí: mathnet.ru/php/ ¿Es "Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas" suficiente nivel para usted?
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@Sergei: Ciertamente hay un germen de pregunta legítima en lo que has preguntado, pero como ya ha señalado Jacques Carette, debería estar escrita en términos puramente matemáticos, es decir, probablemente debería preguntar si se han demostrado ciertos hechos sobre los valores propios y las funciones propias de un determinado operador de Schrödinger (véanse, por ejemplo, las diapositivas a las que hace referencia Terry Tao). Después de plantear una pregunta rigurosa, puede mencionar la tabla periódica de los elementos químicos como antecedente/motivación (consulte las faq para saber más sobre esto).
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@Dmitri: 1) Le he preguntado a Jacques Carette qué tiene en mente y no me ha contestado. Si su sugerencia fuera más clara, la consideraría más seriamente. 2) Tu reformulación de mi pregunta no es correcta: pregunto por la axiomatización de la mecánica cuántica. Formalmente esto no equivale a encontrar valores propios o funciones propias del operador de Schrödinger, ya que cabría esperar que la tabla de Mandeleev pudiera demostrarse sin tener en cuenta esos valores propios. Mi pregunta es absolutamente clara y correcta para los matemáticos que tienen una impresión de lo que es el sistema axiomático, ¿por qué debería reformularlo?
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@Mark: no había necesidad de eliminar tus comentarios aquí. Sin embargo, aprecié su voluntad de hablar conmigo, pero ya ves, la discusión podría ser mucho más interesante, si no se cerró este tema tan rápidamente.
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@Sergei: 1) Ofrecí una posible explicación al comentario de Jacques. En cuanto a la 2), no, no es ni clara ni correcta. Por ejemplo, ¿qué entiendes por una "prueba" de la tabla periódica? Además, una pregunta matemática debe referirse a un modelo matemático específico de la mecánica cuántica (en nuestro caso, un modelo matemático específico de un átomo), por ejemplo, puedes hacer una pregunta sobre el modelo Berezin-Shubin, formulada en términos específicos (por ejemplo, algo sobre valores propios/vectores propios, no sobre una "prueba de la tabla periódica").
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@Dmitri: 1) Sólo hay un preson, que puede explicar lo que Jacques Carette tenía en mente - este es el propio Jacques Carette. En lugar de discutir lo que quería decir, es mucho más inteligente hacerle esta pregunta. Yo hice exactamente esto. Antes de que dé una respuesta no tiene sentido referirse a él. Por cierto, ¿le parece bien que haya lanzado una indirecta y haya desaparecido inmediatamente después?
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@Dmitri: 2) Ya he explicado lo que entiendo por "prueba". Si preguntas qué es exactamente lo que me gustaría que se demostrara, la respuesta es la siguiente. La tabla de Mendeleiev afirma, por ejemplo, que la primera órbita electrónica puede tener sólo 2 electrones, la segunda - 8, la tercera - de nuevo 8, la cuarta - 18, y así sucesivamente. Otra regularidad es la estructura de las subcáscaras. Si la mecánica cuántica fuera un sistema axiomático, todas esas regularidades estarían demostradas. He preguntado si esto es así. Y me resulta extraño que haya matemáticos que digan que esta cuestión no está clara o es incorrecta.
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@Dmitri: 3) Me obligas hasta el final a especificar no sólo QUÉ me gustaría que se demostrara, sino también CÓMO espero que se demuestre. Al principio me dijiste que debía mencionar el operador de Schrödinger, ahora hablas del modelo Berezin-Shubin. ¿Por qué es tan importante? Si sabes lo que hay que demostrar (ejemplo: la afirmación sobre la estructura de las órbitas), ¿por qué la pregunta sigue sin estar clara hasta que explique cómo creo que hay que demostrarlo (resolviendo la ecuación de Schrödinger, o utilizando el modelo de Berezin-Shubin)? Solía pensar que la pregunta CÓMO sobra en la formulación del problema.
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@Sergei: 1) No hay forma de llevar la cuenta de las respuestas a tu comentario. Debes ponerte en contacto con Jacques personalmente si quieres una respuesta. 2) "Ya he explicado lo que entiendo por "prueba"": No, no lo has hecho. Se puede demostrar un teorema, pero la tabla periódica no es un teorema. Tienes que decir exactamente qué quieres demostrar. "La tabla de Mendeleev afirma ": Hay que definir en términos matemáticos qué se entiende por "órbita", "electrón", "subesfera", etc. Ahora mismo no hay contenido matemático en tus afirmaciones. "Si sabes lo que hay que demostrar": No, no lo sabes, al menos en términos matemáticos.
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@Sergei: Creo que has acertado en 3), modulo terminología. "COMO" en tu descripción se refiere a que siempre hay que especificar el modelo matemático. Es importante porque si no, no es una cuestión matemática. Y, por supuesto, estoy en total desacuerdo con tu "CÓMO". Aunque demuestres la misma afirmación desde un punto de vista físico en dos modelos diferentes de mecánica cuántica, desde un punto de vista matemático has demostrado dos afirmaciones completamente diferentes.
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@Sergei: Para resumir, una formulación matemática de tu pregunta debería incluir un modelo matemático específico de mecánica cuántica, definiciones matemáticas de todos los términos como "electrón", "subshell", "órbita", y afirmaciones o conjeturas matemáticas (rigurosas) que quieras que se demuestren.
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@Dmitri: 1) Ya se lo he preguntado a Jacques, ahora le toca a él. 2) Ese es el punto principal: "siempre hay que especificar el modelo matemático... de lo contrario no es una cuestión matemática". No estoy de acuerdo. Yo puedo preguntar SI EXISTE UN MODELO MATEMÁTICO, que describa tal o cual fenómeno, y esto también será una pregunta matemática para los matemáticos que trabajan en campos cercanos (especialmente en campos con el mismo nombre, como la "mecánica cuántica"). También puedo preguntar a un matemático CUÁLES TEORÍAS DE SU ÁMBITO SON SISTEMAS AXIOMÁTICOS, y esto también será una pregunta matemática. ¿Debo explicar por qué?
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@Dmitri: Además de lo que he dicho: cuando veo un texto con palabras como "postulado" o "axioma", puedo preguntar a un especialista, si se trata de una teoría axiomática o no, y si describe los fenómenos que me interesan. Dima, creo, que entiendo tu idea: piensas que un especialista debe ser un robot. Además un robot mal ajustado, que no puede entender el lenguaje normal que la gente usa para comunicarse. Un robot tal que para preguntarle algo hay que escribir un programa especial, como en FORTRAN, de lo contrario sólo responderá: "¡éste no es mi campo, reescribe tu pregunta!".
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@Dmitri: Una explicación a los no-robots, por qué esto es malo: esto hace imposible la comunicación entre especialistas y no-especialistas (porque para preguntar algo a un robot, debes ser lo suficientemente sofisticado en su lenguaje específico, por lo que debes ser un especialista), esto conduce a la falta de entendimiento entre los diferentes grupos de personas en la sociedad, y, siendo una especie de grosería ("hamstvo" en ruso), esto contradice las normas éticas. ¿Está claro o debo reformularlo en un lenguaje especial?
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@Sergei: 1) La cuestión es que una vez que publicas una respuesta al comentario de alguien, no hay forma de que esta persona se entere de ello a menos que vuelva a mirar esta página o se lo comuniques personalmente. Este problema está solucionado en el software SE 2.0, pero MO sigue utilizando SE 1.0.
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@Sergei: La pregunta "SI EXISTE UN MODELO MATEMÁTICO que describa tal o cual fenómeno" pertenece claramente al dominio de la física, no de las matemáticas. Tus otros comentarios sobre los robots también se aplican a los físicos, no a los matemáticos. Después de todo, tenemos dos sitios diferentes (MathOverflow y Física / Física Teórica SE) y dos ciencias diferentes (matemáticas y física) por una razón, de lo contrario sólo habría un sitio y una ciencia.
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@Sergei: Yo también encuentro tus afirmaciones de grosería completamente inapropiadas. La grosería es, por definición, una violación de las normas ampliamente aceptadas por la comunidad. Eres tú quien está violando estas normas, no la comunidad de MO. De todos modos, siempre eres bienvenido a iniciar un hilo en Meta sobre esto. Este hilo de comentarios se está convirtiendo en una discusión, que es en sí misma una violación de las normas de MO.
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@Dmitri: No comentaste las otras dos preguntas, que yo posteé: "CUÁLES TEORÍAS DE SU ÁMBITO SON AXIOMÁTICAS", y "si ésta es una teoría axiomática o no...". ¿Significa esto que estás de acuerdo conmigo en que son cuestiones matemáticas? En cuanto a la primera - "SI EXISTE UN MODELO MATEMÁTICO que describa tal o cual fenómeno"- no estoy de acuerdo contigo, porque un matemático que trabaje en este campo debería conocer las aplicaciones de su actividad. Por el contrario, un físico muy probablemente dirá que esto no es física, ya que la pregunta es sobre modelos matemáticos.
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@Dmitri: Sobre la ética. Qué interesante: "Eres tú quien está violando estas normas". ¿Qué quiere decir? Y no entendí esto: "siempre eres bienvenido a iniciar un hilo en Meta sobre esto". No soy programador, ¿dónde puedo iniciar un hilo?
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@Sergei: Te sugiero que primero leas las FAQ: mathoverflow.net/faq . Explica qué es Meta y por qué se desaconsejan este tipo de discusiones. También explica qué preguntas son apropiadas aquí y por qué tu pregunta en su forma actual es inapropiada para MO, que debería responder a tus preguntas sobre rudeza/ética. Además, puedes ver un enlace a Meta en la parte superior de cualquier página de MO. Por último, tus otras dos preguntas son igual de malas para MO por razones similares, pero reitero mi petición de trasladar esta discusión a Meta si quieres continuarla.
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"Reitero mi petición de transferir esta discusión a Meta si quieres continuarla" - ¿significa esto que nuestra discusión aquí será borrada?
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Dima, y esta afirmación necesita pruebas: "Eres tú quien viola estas normas". Así como aquellas: "tu pregunta en su forma actual es inapropiada", "tus otras dos preguntas son igual de malas para MO por razones similares".
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@Sergei: Estás intentando continuar la discusión aquí a pesar de que se te ha dicho explícitamente que no lo hagas. Me rindo.
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Lástima que me perdí la fiesta. Me parece una pregunta estupenda. Y no puedo entender la reacción de algunas personas aquí y en Physics.SE. Todo matemático, físico o químico serio conoce los méritos de la tabla de Mendeléyev y su validación experimental. Y todo matemático, físico o químico serio sabe igualmente bien que la Mecánica Cuántica es una idealización. Además, ni siquiera podemos dar una solución cerrada para el átomo de helio. Así que creo que es una buena prueba de QM y de nuestras habilidades matemáticas o computacionales, si podemos derivar las propiedades de la tabla de M a partir de SE.
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Esta es una pregunta brillante, ojalá pudiera upvotearla más de una vez. @Dimitri, la cuestión es que esto es en parte matemática inversa. Es decir, qué axiomas debemos postular para derivar matemáticamente la estructura de la tabla periódica que ya se sabe experimentalmente que es correcta y si los postulados existentes de la QM (formulados adecuadamente) son suficientes para hacerlo. La reacción negativa aquí es ridícula y también estoy de acuerdo en que obtendrás tonterías de la física se sobre esto y que será matemáticamente muy desafiante.