Transiciones de fase en la mecánica estadística generalmente son impartidas por trabajar a través de un montón de ejemplos. Me decidí a probar y pensar en ellos de una forma más "fundamentales" punto de vista -, pero me he topado con un poco raro pega, en la que yo he llegado con un sistema que parece satisfacer la definición más común de un (primer orden) de la fase de transición, sin embargo, es demasiado trivialmente simple para ser realmente interesante. Debido a esto, me pregunto si hay una manera de definir las transiciones de fase de tal manera que se incluyen ejemplos interesantes, como las dos dimensiones del modelo de Ising, sin embargo, excluye el que se presento a continuación.
Mi razón de preguntar no es que quiero ser quisquillosos acerca de las definiciones para su propio bien, sino porque quiero conseguir una manija en lo especial característica(s) de menos trivial modelos que la mía no lo hace, lo que causa que ellos presentan efectos muy interesantes, como la escala libre, etc. alrededor del punto de transición.
Mi trivial modelo es como sigue. Considere la posibilidad de dos estados (clásica) del sistema, que puede ser en el estado 0 de la energía $E_0 = 0$, o del estado 1 con energía $E_1 = \lambda \varepsilon $. Aquí $\varepsilon$ es un valor fijo (con dimensiones de energía) y $\lambda$ es un parámetro adimensional que voy a variar más tarde, lo que representa el tamaño del sistema.
Asumimos que el sistema se encuentra en una distribución de Boltzmann con la inversa de la temperatura de $\beta$. Las probabilidades de $p_i$ de que el sistema está en estado de $i$ son entonces de la siguiente manera: $$ p_0 = 1/Z \quad\text{y}\quad p_1 = e^{-\beta \varepsilon \lambda}/Z, $$ con el factor de normalización ("función de partición") está dada por $Z=1+e^{-\beta \varepsilon\lambda}$.
Ahora consideramos el cambio de la "escala" del sistema, $\lambda$. A la espera de la densidad de energía del sistema está dada por $$u(\beta) = \frac{\langle E \rangle}{\lambda} = \frac{\varepsilon e^{-\beta\varepsilon\lambda}}{1+e^{-\beta\varepsilon\lambda}}.$$ No es difícil ver que en el límite de lo infinito $\lambda$ esto se convierte en una función de paso, con $u=0$ si $\beta>0$ $u=\varepsilon$ si $\beta<0$.
Del mismo modo, la densidad del registro de la función de partición (o adimensional de la "energía libre"), dada por $$ \frac{\log Z}{\lambda} = \frac{\log(1+e^{-\beta \varepsilon \lambda})}{\lambda}, $$ se convierte en un modelo lineal por tramos en el límite de un gran $\lambda$, exhibiendo una discontinuidad en su primera derivada en $\beta=0$. En el límite, $\frac{\log Z}{\lambda} = -\beta \epsilon$ si $\beta<0$, e $0$ lo contrario. Uno puede notar también que en el punto de transición, $\beta=0$, la varianza de las $E$ diverge.
Por lo que este sistema parece que exhiben el mismo discontinuidades como trivial modelos de transiciones de fase --- sin embargo, es sólo un sencillo de dos-estado del sistema. Intuitivamente este fenómeno es demasiado simple para ser llamado un cambio de fase, por lo que me gustaría entender lo que la definición de la diferencia entre este tipo de comportamiento y el no-trivial de los cambios de fase que pueden tener lugar en Ising tipo de modelos y en los sistemas físicos.
Alternativamente, supongo que es posible que algunos de los "interesantes" características de las transiciones de fase están presentes en mi ejemplo, pero sólo se necesita un poco inteligente interpretación para llegar a ellos. Si este es el caso que yo agradecería una explicación.
Adenda. El modelo, como se describe arriba, tiene la ventaja de ser la más sencilla que se me ocurrió, pero tiene la desventaja de que el punto de transición es en $\beta=0$, que corresponde a infinito de la temperatura, ya que $\beta=1/k_BT$. Esto hace que el modelo de parecer algo patológico. Sin embargo, un pequeño cambio en el modelo de la transición puede tener lugar en un finito, temperatura positiva. La realización de este cambio resulta ser muy instructivo.
Para lograr esto nos dará el nivel de energía más alto algunas degeneración. Es decir, no es sólo un estado con $E_0=0$, pero ahora se $g$ estados con $E_i=\varepsilon$. (Si el único estado con $E=0$ es estéticamente desagradable, también se puede dar una degeneración; yo he decidido no hacerlo por motivos de simplicidad.) En este caso, como antes, $p_0=1/Z$$p_i = e^{-\beta\varepsilon\lambda}/Z$$i>0$, pero ahora $Z=1+ge^{-\beta\varepsilon\lambda}$. Con el fin de obtener una transición en un no-cero de temperatura debemos hacer la suposición adicional de que la degeneración de las escalas de forma exponencial con $\lambda$, es decir, $g=e^{a\lambda}$ para algunos adimensional parámetro constante $a>0$. En este caso (como gatsu deducida en su respuesta), $$ u(\beta) = \frac{\varepsilon e^{(\beta\varepsilon)\lambda}}{1+e^{(\beta\varepsilon)\lambda}}. $$ En el límite de lo infinito $\lambda$ esto tiene un punto de transición en $\beta = a/\varepsilon$, $u$ cero si $\beta$ es mayor que este valor, y $\varepsilon$ si está por debajo de ella. la "energía libre" $\log Z(\beta)$ cambios en una manera similar, convirtiéndose en un modelo lineal por tramos con una discontinuidad en su primera derivada en $\beta = a/\varepsilon$.
Además de ser menos patológicamente comportamiento, este modelo también se siente un poco menos trivial, ya que tiene muchos microstates en lugar de sólo dos, y, como gatsu señala, la transición surge a partir de una competencia entre el bajo consumo de energía de estado $0$ y la entropía de los degenerados estados excitados. Pero, sin embargo, tan lejos como puedo ver, este modelo carece de características tales como el poder de la ley de comportamiento y de ruptura de simetría que están asociadas con las transiciones de fase en los otros modelos. Estoy interesado en la diferencia esencial entre el modelo y aquellos, que da lugar a la no-trivial comportamiento alrededor del punto crítico.
