muestran una convergencia uniforme de $\ \ f_n(x)= \dfrac{1}{1+(x-n)^2}$ en cualquier intervalo compacto $[a,b] \in \mathbb R$ .

Question

Muestran una convergencia uniforme de $\ \ f_n(x)= \dfrac{1}{1+(x-n)^2}$ en cualquier intervalo compacto $[a,b] \subset \mathbb R$ .

Mi intento: Demostré que la secuencia de funciones converge puntualmente a $f=0$

Answer 1

Una pista: Para $n\ge2|x|$ , $$ \frac1{1+(x-n)^2}\le\frac4{n^2} $$

Answer 2

Su idea es en general correcta, sólo hay que cambiar el $\frac{1}{M+n^2}$ en $\frac{1}{(M+n)^2}$ en el último límite. Además, quizás una forma más rápida de escribir las cosas sería esta: $$f_n(x) = \frac1{1+(x-n)^2} = \frac{1}{n^2}\frac{1}{\frac{1}{n^2} + \left(\frac{x}{n} - 1\right)^2}.$$ Ahora puedes limitar el segundo factor limitando $x$ , dejándote con $1/n^2$ que va a $0$ .

No se trata de una solución "mejor", sino de una solución ligeramente diferente.

Answer 3

Si $n$ es lo suficientemente grande, entonces $n > b$ y

$\displaystyle \sup_{x \in [a,b]} f_n = \frac{1}{1 + (b - n)^2} $

porque para maximizar $f_n$ necesita minimizar $(x - n)^2$ .