Resolver $\cos z = 2$

Question

Mi intento:
$$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = 2 \\e^{2iz} - 4e^{iz} + 1 = 0\\ e^{iz} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.$$
Como el lado derecho es real, el logaritmo complejo es igual al logaritmo real, por lo que
$$iz = \ln (2\pm \sqrt{3})$$

¿Es esto correcto? No tengo soluciones, así que me gustaría confirmarlo. ¿Cómo puedo tener en cuenta la periodicidad aquí?

Answer 1

Vas por buen camino. Yo haría dos cosas adicionales.

1) Cuando se toma el logaritmo natural de los números complejos una constante aditiva de $i2k\pi$ ya que el logaritmo es multivalente. Así,

$iz=\ln (2\pm \sqrt 3)+i2k\pi$

2) Multiplicar por $-i$ para aislar $z$ . Tenga en cuenta que los números $\ln (2\pm \sqrt 3)$ son negativos entre sí:

$z=-i \ln (2\pm \sqrt 3)+2k\pi=i\ln (2\mp \sqrt 3)+2k\pi$