¿Por qué los colímetros filtrados conmutan con los límites finitos?

Question

No es difícil demostrar que esto es cierto en la categoría Conjunto, y se han escrito pruebas en muchos lugares. Pero todas las que conozco son un poco complicadas.

Pregunta 1: ¿existe una prueba suave de este hecho?

Por ejemplo, aquí hay una prueba suave del hecho de que los colímites filtrados en Set conmutan con productos binarios. Si $J$ es una categoría filtrada, y $R,S:J\to$ Set son funtores, entonces

$$colim_{j\in J} R(j)\times colim_{k\in J} S(k) \cong colim_{j\in J} colim_{k\in J} R(j)\times S(k)$$ $$\cong colim_{(j,k)\in J\times J} R(j)\times S(k) \cong colim_{j\in J} R(j)\times S(j) $$

donde el primer isomorfismo utiliza el hecho de que Set es cartesiano cerrado, de modo que los funtores $X\times-$ y $-\times X$ son cocontinuos; el segundo isomorfismo es el "teorema de Fubini"; y el tercer isomorfismo se deriva del hecho de que el functor diagonal $\Delta:J\to J\times J$ es definitivo.

¿Hay alguna manera de ampliar esto para tratar con ecualizadores y/o pullbacks? (El caso del objeto objeto terminal es fácil).

Para el tipo de persona que prefiere demostrar el hecho directamente (que después de todo no es tan difícil), vale la pena señalar que esta prueba funciona no sólo en Set sino para cualquier categoría cartesiana cerrada con colímetros filtrados. Funciona sin necesidad de saber cómo se construyen los colímetros en Set.

Así que otra forma de plantear mi pregunta podría ser

Pregunta 2: ¿cuál es una clase de categorías en las que se puede demostrar que los colímitos filtrados conmutan con los límites finitos (sin demostrar primero que esto es cierto en Set)?

Así que sí, sé que la conmutatividad se mantiene en cualquier categoría localmente presentable de forma finita, pero las únicas pruebas de esto que conozco dependen del hecho de que es cierto en Set.

Answer 1

En el Elefante El teorema B2.6.8 muestra que los límites finitos conmutan con los colímites filtrados en $\mathsf{Set}$ utilizando argumentos que aparentemente pueden ser internalizados a cualquier $\mathcal{S}$ que es Barr-exacto con coigualadores reflexivos. Llamemos a tal categoría buena .

Esperaba que la prueba de Johnstone fuera una internalización directa de la prueba encontrada, por ejemplo, en Mac Lane. Pero en realidad se basa en la reducción de la preservación de los pullbacks a la preservación de los productos binarios, como intentó hacer Buschi Sergio en su respuesta. Johnstone reduce la afirmación 1 a la afirmación 2 de la siguiente manera:

1. Para cualquier categoría buena $\mathcal{S}$ y cualquier $\mathbb{C} \in \mathrm{Cat}(\mathcal{S})$ que está filtrado internamente, el functor $\varinjlim: [\mathbb{C},\mathcal{S}] \to \mathcal{S}$ conserva pullbacks .

2. Para cualquier categoría buena $\mathcal{S}$ y cualquier $\mathbb{C} \in \mathrm{Cat}(\mathcal{S})$ que está filtrado internamente, el functor $\varinjlim: [\mathbb{C},\mathcal{S}] \to \mathcal{S}$ conserva productos binarios .

Johnstone demuestra la afirmación (2) directamente, pero si estamos dispuestos a asumir que $\mathcal{S}$ es cartesiano cerrado, entonces supongo que la afirmación (2) se seguirá de una manera más conceptual al interiorizar el argumento del enunciado de la pregunta.

Johnstone demuestra la afirmación (1) a partir de la afirmación (2) de la siguiente manera; omitiré mucho la palabra "interno". Piensa en $[\mathbb{C},\mathcal{S}]$ como la categoría de opfibraciones discretas sobre $\mathbb{C}$ . Considere un retroceso $\mathbb{G} \times_{\mathbb{F}} \mathbb{H}$ sobre la opfibración discreta $\mathbb{F} \to \mathbb{C}$ . Entonces $\mathbb{G}$ y $\mathbb{H}$ pueden considerarse como opfibraciones discretas sobre $\mathbb{F}$ en la categoría de rodajas $\mathcal{S}/\pi_0 \mathbb{F}$ y $\mathbb{G}\times_\mathbb{F} \mathbb{H}$ es su producto como tal. Ahora, $\mathbb{F}$ es débilmente filtrada (lo que significa que sus componentes conectadas están filtradas) sobre $\mathbb{S}$ por el lema B2.6.7 de Johnstone (al ser una opfibración discreta sobre una categoría filtrada), por lo que se filtra internamente a $\mathbb{S}/\pi_0\mathbb{F}$ por el Corolario B2.6.6 de Johnstone. Por lo tanto, ya que $\mathcal{S}/\pi_0\mathbb{F}$ es de nuevo una buena categoría, podemos aplicar el enunciado (2) para deducir que el producto $\mathbb{G}\times_\mathbb{F} \mathbb{H}$ es preservado por el functor colímite $\varinjlim:[\mathbb{F},\mathcal{S}/\pi_0\mathbb{F}] \to \mathcal{S}/\pi_0\mathbb{F}$ : $\varinjlim(\mathbb{G}\times_\mathbb{F} \mathbb{H}) \cong \varinjlim(\mathbb{G}) \times \varinjlim(\mathbb{H})$ . Cuando aplicamos el functor de olvido $\mathcal{S}/\pi_0\mathbb{F} \to \mathcal{S}$ a este isomorfismo, los colímetros se conservan y los productos se convierten en pullbacks sobre $\pi_0 \mathbb{F}$ Así que dice

$\varinjlim(\mathbb{G}\times_\mathbb{F} \mathbb{H}) \cong \varinjlim(\mathbb{G}) \times_{\pi_0 \mathbb{F}} \varinjlim(\mathbb{H}) = \varinjlim(\mathbb{G}) \times_{\varinjlim( \mathbb{F})} \varinjlim(\mathbb{H})$

como se desee. Nótese que para utilizar la prueba suave de (2), sin embargo, necesitamos la categoría de trozos de $\mathcal{S}$ sea cartesiano cerrado, es decir, necesitamos $\mathcal{S}$ para ser localmente cerrado cartesiano además de ser bueno.

Algunas reflexiones:

• En la dirección de hacer esto más auto-contenido, parece que esta prueba podría ser despojada para evitar la dependencia de la lógica interna si sólo queremos que se aplique cuando $\mathcal{S} = \mathsf{Set}$ -- aunque parece que todavía tendremos que pensar en las categorías internas de las rebanadas de $\mathsf{Set}$ Esto no debería ser tan malo. Sin embargo, no estoy seguro de lo "suave" que es esto.

• En la dirección de buscar la máxima generalidad, este teorema identifica una bonita clase de categorías donde un versión interna de límites finitos y colímites filtrados conmutan. Pero la pregunta 2 pedía una buena clase de categorías en las que la externo Los límites finitos conmutan con los colímites filtrados. No estoy tan seguro de cómo utilizar este teorema para identificar dicha clase. Si $\mathcal{S}$ admite un morfismo geométrico hacia $\mathsf{Set}$ (o algo parecido), entonces las categorías pequeñas ordinarias pueden convertirse libremente en categorías internas en $\mathcal{S}$ . ¿Un functor de este tipo también convertiría las opfibraciones discretas en opfibraciones discretas? ¿Y preservaría las nociones de límite y colímite? Estas son preguntas de cambio de base que seguramente alguien por ahí sabe...

• Seguro que estaría bien modificar esta prueba o encontrar otra que explote explícitamente la definición de filtrado de $\mathbb{C}$ que dice que el functor diagonal $\Delta: \mathbb{C} \to [\mathbb{I},\mathbb{C}]$ es definitivo para todo finito $\mathbb{I}$ .

Answer 2

Para que la generalización sea un pullback tenemos que demostrar que $colim_i X_i\times_{Y_i} B_i \cong X\times_YB$ (donde $X, Y, B$ son los respectivos colímetros). Como $I$ se filtra la triple diagonal $I\to I\times I\times I$ es final y podemos hacer este colimite parcialmente, entonces podemos hacer el colimite en el $Y_i$ antes.

Entonces tenemos que demostrar que $colim_i X_i\times_Y B_i \cong X\times_YB$ .

Entonces es suficiente mostrar que el pullback de cualquier colímite sigue siendo un colímite, y luego con las algunas argumentaciones de "prueba suave" que se hace.

Es suficiente para demostrarlo:

dar un $f: X\to Y$ y un cocón $B_i \to Y$ con $I$ una pequeña categoría (no necesariamente filtrada), con un colímite $B_i\to B$ y la flecha natural $B\to Y$ . Entonces, el retroceso con $f$ : $B_i\times_Y X \to B\times_Y X$ es un colímite.

esto es cierto si el funtor pullbach $(X, f)^\ast: \mathcal{C}\downarrow Y\to \mathcal{C}\downarrow X$ es un adjunto izquierdo, y entonces es cocompleto.

Esto es como decir que $\mathcal{C}$ es localmente-cartesiano-cerrado.

Esto es cierto en cualquier topos, y esta propiedad es un aspecto específico y profundo de los topoi y su lógica interna.

Podemos observar que en mi argumentación anterior $I$ no necesita ser filtrado, pero para $I$ no filtró la diagonal $I\to I\times I$ no podía ser definitivo.

Answer 3

Una posible respuesta a la pregunta 2 es "categorías en las que los límites finitos distribuir sobre colimits filtrados". Una noción general de distributividad descrita en el nlab de Dmitri Pavlov señala que el morfismo de comparación para un diagrama $D:I\times K \to C$

$$f\colon {\rm colim}_K {\rm lim}_I D \to {\rm lim}_I {\rm colim}_K D$$

cuya invertibilidad describimos mediante " $I$ -Los límites conmutan con $K$ -límites", factores como un compuesto

$${\rm colim}_K {\rm lim}_I D \xrightarrow{g} {\rm colim}_{K^I} {\rm lim}_I D' \xrightarrow{h} {\rm lim}_I {\rm colim}_K D.$$

donde $K^I$ es la categoría de funtores y $D'\colon I\times K^I\to C$ se obtiene de $D$ por precomposición con el functor $(\pi_1,{\rm ev}) : I\times K^I \to I\times K$ que envía un par $(i,s)$ a $(i,s(i))$ . El mapa $g$ es inducido por el functor diagonal $K\to K^I$ , mientras que $h$ se define por propiedades universales.

Así, si la diagonal $K\to K^I$ es definitiva, se deduce que $f$ es un isomorfismo si y sólo si $g$ es. Esta última propiedad se describe como " $I$ -Los límites se distribuyen sobre $K$ -colimita", y si $I$ es discreto es fácilmente equivalente a la noción habitual de productos que se distribuyen sobre colimits.

Sin embargo, si $I$ no es discreto, no me queda claro cómo reformular esta condición de distributividad de forma más explícita para deducirla de algo como el cierre cartesiano local, o incluso para demostrar directamente que se cumple en $\rm Set$ . Pero quizás alguien más vea cómo.