Si cualquier número entero a la potencia de $x$ es entero, debe $x$ ser entero?

Question

Mis disculpas si esto ya se ha preguntado, he buscado pero no lo he encontrado...

Sea $x$ tal que para cada $y \in N$ , $y^x$ es un número entero. ¿Significa eso necesariamente que $x$ ¿es un número entero?

Answer 1

Esta pregunta fue la pregunta A6 del concurso Putnam de 1971. Se puede encontrar una solución utilizando diferencias finitas y el Teorema del Valor Medio aquí . También le puede interesar Pregunta MO en el que se discute una amplia generalización que demuestra que si $2^x$ , $3^x$ y $5^x$ son integrales, también lo es $x$ . Como se establece en las respuestas a la pregunta del modus operandi, sigue siendo un problema abierto si conocer $2^x$ y $3^x$ son integrales es suficiente para deducir que $x$ es integral.

Answer 2

¡Sí! Hay un famoso problema que dice que si $2^\alpha$ , $3^\alpha$ y $5^\alpha$ son números enteros, entonces $\alpha$ es un número natural.

Desgraciadamente no recuerdo la prueba y la referencia que conozco no está en inglés.