Las estrellas y las barras es una técnica común utilizada en combinatoria. Afirma que el número de formas de poner $n$ bolas indistinguibles en $k$ de contenedores distinguibles viene dada por:
$$ n + k - 1 \choose k - 1 $$
He visto que este recuento se utiliza con frecuencia para calcular probabilidades, pero después de pensarlo un poco, soy ligeramente escéptico en cuanto a si cada uno de los recuentos dados por las estrellas y las barras tiene la misma probabilidad de ocurrir.
Consideremos el caso con 3 bolas y 2 cubos. Representaré diferentes disposiciones de las bolas con $(n_1, n_2)$ siendo el caso de que haya $n_1$ bolas en la bandeja 1 y $n_2$ bolas en la bandeja 2. Naturalmente, tenemos $0 \leq n_1, n_2 \leq 3$ y $n_1 + n_2 = 3$ .
Podemos calcular la probabilidad de $P(0,3)$ , $P(1,2)$ , $P(2,1)$ y $P(3,0)$ como sigue. Etiqueta cada una de las bolas de manera que haya $2^3 = 8$ diferentes acuerdos igualmente probables.
De estos acuerdos, sólo hay $1$ manera de poner $0$ bolas en la bandeja 1. Hay $3$ formas de $1$ en la casilla 2, y los otros dos casos son simétricos. Por lo tanto:
$$P(0,3) = 1/8 \qquad P(1,2) = 3/8$$
Esto demuestra que los diferentes elementos contados en estrellas y barras no se dan con la misma probabilidad.
Si alguien es tan amable, ¿podría confirmar este trabajo? Creo que he visto el uso de estrellas y barras para contar el número de posibilidades para usar en el denominador de los problemas de probabilidad. ¿Estoy en lo cierto al pensar que tales prácticas son incorrectas?
