Diagrama de bifurcación y valor de bifurcación

Question

Determine los valores de bifurcación de $\dot{x} = x(x-r^2)$ y dibujar el diagrama de bifurcación.

Mi intento: En primer lugar, vemos que si $f(x_0, r_0) = Df(x_0, r_0) = 0$ entonces $x_0$ es un punto crítico no hiperbólico y $r_0$ es un valor de bifurcación. Vemos que esto sólo ocurre cuando $(x_0, r_0) = (0,0)$ , por lo que este es el único valor de bifurcación. Ahora, para cada $r_0\neq 0$ la solución aumentaría sin límite para $x_0 > \sqrt{r_0}$ et $x_0 < 0$ y disminuye para $0 < x_0< \sqrt{r_0}$ . Sin embargo, no sé cómo demostrar esta información en el diagrama de bifurcación:( ¿Puede alguien ayudar?

Answer 1

Para el problema original, tenemos dos puntos críticos $x = 0 , r^2$ . Los siguientes retratos de fase muestran cuatro valores diferentes de $r$ pero hay que tener en cuenta que son idénticos para $\pm r$ .

$r = -10$

$r = -3$

$r = -1$

$r = 0$

Answer 2

Una bifurcación suele ser un punto en el que una rama de puntos estacionarios estables cambia a inestable en su continuación suave. Normalmente surgen dos nuevas ramas estables de puntos estacionarios.

La única reescritura de la ecuación inicial que satisface estos criterios es $$ \dot x = x(r-x^2). $$ Para $r<0$ , $x_0=0$ es un punto estacionario estable, para $r>0$ se vuelve inestable y $x_0=\pm\sqrt{r}$ son los nuevos puntos estacionarios.

La linealización en $x_0=\sqrt{r}$ es $$ \dot u=\frac d{dt}(\sqrt r+u)=(\sqrt r+u)(-u)(2\sqrt r+u)=-2ru-3\sqrt r u^2-u^3\\=-2r·u+O(u^2) $$ para que estos puntos permanezcan estables para todos $r>0$ .