Espacio de columnas de un producto de matrices

Question

Dejemos que $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ , $B\in\mathbb{R}^{n\times q}$ , $C\in\mathbb{R}^{n\times q}$ sean matrices tales que $$C=AB$$ donde $C$ y $B$ son de rango de columna completo.

Entonces, haz $C$ et $B$ ¿tienen el mismo espacio de columna?

Answer 1

No necesariamente por ejemplo dejar $$ A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} , \quad B= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} $$ Entonces $$ AB=C= \begin{bmatrix} 1\\ 3 \end{bmatrix} $$ Ahora ambos $C$ et $B$ tienen rango de columna $1$ (rango completo) pero el espacio de la columna de $B$ et $C$ no son, sin duda, lo mismo.