Una pregunta sobre el cambio de variables en una EDO o en general

Question

Tengo una pregunta sobre la diferenciación en esta pregunta: ecuación diferencial de Cauchy-Euler

Entiendo que utiliza la regla del producto para pasar de la 2ª línea a la 3ª línea (desde donde apunta la flecha en la imagen). Pero no estaba seguro de cómo obtener el segundo término en la 3ª línea (el que está marcado con un círculo). Creo que entiendo cómo obtener el primer término, pero no soy capaz de averiguar cómo obtener el segundo término.

Supongo que el segundo término es $\frac{1}{x} * \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dt})$ Entonces, ¿cómo se manipula para convertirse en ese término dentro del círculo? ¿Se nos permite simplemente añadir, digamos: $dp$ en el nominador, y $dp$ en el denominador como queramos?

Digamos que si tengo un término como este: $\frac{dx}{dz}$ ¿Puedo añadir $dp$ a esa fracción de cualquier forma que desee siempre y cuando la parte inferior y superior "se anulen" como: $\frac{dx}{dz}=\frac{dx}{dp}\frac{dp}{dz} $ ?

¿Es lo que se hace en esa parte dentro del círculo? (¿es realmente válido hacer esto si se está haciendo realmente?)

Answer 1

Supongo que este es uno de los casos en los que la notación de Leibniz no ayuda realmente. En el enlace que has proporcionado, $t = \log x$ Así que $t = t(x)$ es una función de $x$ . Así que es mejor escribir $\frac{dy}{dt} = y^\prime (t(x))$ . Entonces, por la regla de la cadena, $$\frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dt} \right) = \frac{d}{dx} y^\prime (t(x)) = y^{\prime \prime} (t(x)) t^\prime (x) = \frac{d^2 y}{dt^2} \frac{dt}{dx}$$

Answer 2

Haga lo mismo para $y''$ : $$ \begin{align} y''=&\frac {d^2y}{dx^2}=\frac {d}{dx}\left (\frac {dy}{dx} \right )\\ y''=&\frac {d}{dx}\left ( \frac {dy}{dt} \frac 1 x \right ) \\ \end{align} $$ Aquí hay que diferenciar un producto de dos funciones por lo que se aplica la regla : $$(fg)'=f'g+fg'$$ $$y''=\dfrac {dy}{dt}\frac {d}{dx}\left ( \frac 1 x \right ) +\frac 1 x \frac {d}{dx}\left ( \frac {dy}{dt} \right ) $$ El primer término es fácil de calcular, para el segundo hay que aplicar la regla de la cadena; $$\dfrac {d}{dx}=\dfrac {d}{dt}\dfrac {dt}{dx}=\dfrac 1x\dfrac {d}{dt}$$ Desde $t=\ln x \implies \dfrac {dt}{dx}=\dfrac 1x$ .

Answer 3

Creo que mi siguiente trabajo le servirá para despejar sus dudas y hacer comprensible el trabajo.

\begin{align} y''=&\frac {d^2y}{dx^2}=\frac {d}{dx}\left (\frac {dy}{dx} \right )\\ =&\frac {d}{dx}\left ( \frac {dy}{dt} \frac 1 x \right ) \\ =&\frac 1 x \cdot \frac {d}{dx}\left ( \frac {dy}{dt} \right )+\frac {dy}{dt}\cdot\frac {d}{dx}\left (\frac 1 x \right )\\ =&\frac 1 x \cdot \frac {d}{dt}\left ( \frac {dy}{dt} \right )\cdot\frac {dt}{dx}-\frac 1 {x^2}\cdot\frac {dy}{dt}\\ =&\frac 1 {x^2} \cdot \frac {d}{dt}\left ( \frac {dy}{dt} \right )-\frac 1 {x^2}\cdot\frac {dy}{dt}\\ =&\frac 1 {x^2} \cdot \frac {d^2y}{dt^2} -\frac 1 {x^2}\cdot\frac {dy}{dt}\\ x^2y''=&\frac {d^2y}{dt^2}-\frac {dy}{dt}\\ \end{align}

Nota: Como $~x=e^t,~~ t=\ln x~$ y por lo tanto $~{dt}/{dx}=1/x~.$

Editar:

La pregunta de la operadora: Para el primer término de la cuarta línea, ¿es posible saber cómo se obtiene $\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dt})\frac{dt}{dx}$ ? ¿Podría explicarse un poco más?

Explicación: Claramente aquí $~y=y(x)~$ es decir, $~y~$ es una función de $~x~$ y como $~x=e^t$ $(dx/dt=e^t\ne 0)$ Así que $~x~$ es de nuevo una función de $~t~$ . Por lo tanto, $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}\tag{*}$$ Ahora reemplaza $~y~$ por $~\frac{dy}{dt}~,$ tenemos

$$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dt}\right)\cdot\dfrac{dt}{dx}$$

• Para la prueba de la igualdad $(*)$ , ver ¿El recíproco de $dx/dy$ igual $dy/dx$ ?