Considere la secuencia $10, 110, 1110, 11110, 111110, ...$
Aquí el $n$ el término $a_n=\sum \limits_{k=1}^n\left(10^k\right)$
¿Hay algún término que sea divisible por $67$ ?
¿Cómo podemos demostrarlo?
Toma $68$ números: $$\underbrace{10, 110, 1110,..,11111110}_{68 \text{ terms of the sequence}}$$ Consideremos los residuos que dejan estos números al ser divididos por $67$ . Por el principio de casillero hay dos números con los mismos residuos, y por tanto su diferencia es divisible por $67$ : $$\underbrace{11111110}_{m \text{ digits}}-\underbrace{11111110}_{l \text{ digits}}=11..1100..00=\underbrace{11111110}_{s \text{ digits}} \cdot 10^k \cong 0 (\mod 67)$$ $$\gcd(10^k,67)=1 \Rightarrow 67| 11..110$$
@ThomasAndrews: Probablemente quiere decir "tomar 68 números", y debería cambiar su redacción.
He aquí una forma curiosa de averiguarlo sin utilizar el pequeño teorema de Fermat.
¿Qué es? $\frac{1}{67}$ en decimal? Bueno, podemos realizar una división larga. En cada paso se arrastra un resto, que se multiplica por $10$ . Obsérvese que el resto nunca es $0$ , de lo contrario la expansión decimal termina, lo que no es posible ya que $67$ veces el dígito de la derecha no puede producir un $0$ . Así que el resto debe ser de $1$ a $66$ y finalmente el resto se repetirá ya que la expansión decimal es eterna. Por lo tanto, ¡sus dígitos también se repetirán!
Digamos que uno de los restos que se repite es $r$ y que $x$ sea la cadena de dígitos que aparecen en la expansión decimal inmediatamente después de obtener un resto de $r$ y antes de obtener el siguiente resto de $r$ . Sea $n$ sea el número de dígitos de $x$ . Podemos ver que $r \times 1\underbrace{00\cdots0}_{\text{$ n $ zeroes}}$ es un múltiplo de $67$ más el siguiente resto de $r$ . Por lo tanto, $r \times ( 1\underbrace{00\cdots0}_{\text{$ n $ zeroes}} - 1) = r \times \underbrace{99\cdots9}_{\text{$ n $ nines}} = r \times 9 \times \underbrace{11\cdots1}_{\text{$ n $ ones}}$ es un múltiplo de $67$ .
Pero $r \times 9$ no es divisible por $67$ Así que $\underbrace{11\cdots1}_{\text{$ n $ ones}}$ debe ser divisible por $67$ desde $67$ es primo (por el lema de Euclides).
Por supuesto, el pequeño teorema de Fermat nos dice que el número de dígitos de cada bloque repetido debe ser un factor de $67 - 1 = 66$ pero no necesitábamos saberlo en el argumento anterior.
Usando el pequeño teorema de Fermat, $$10^{\phi(m)}-1\equiv0\pmod m$$ para $(m,10)=1$
Ahora bien, si $(m,9)=1\iff(m,3)=1,$ $$\dfrac{10^{\phi(m)}-1}{10-1}\equiv0\pmod m$$
Finalmente $\underbrace{11\cdots11}_{n \text{ digits}}=\dfrac{10^n-1}9$
Ici, $m=67$
Alternativamente, utilice el principio de Pigeonhole
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Debería haber dicho, quieres una solución no trivial para $10^n\equiv 10$ mod( $67$ ). La solución más pequeña es $n=34$ así que $\frac {10^{34}-1}9-1$ es un ejemplo.