¿Por qué se escribe primero la parte real en los números complejos?

Question

Mientras que la expresión de los números complejos como $a + \iota b$ ¿Hay alguna razón específica para escribir la parte real antes de la parte imaginaria?

¿Quién introdujo primero esta notación? ¿Es un caso en el que sólo se colgó con nosotros debido al tipo que nos introdujo esto?

Answer 1

Es una convención histórica, y el propio Euler la eligió:

Pero hay algunas buenas razones matemáticas para preferirlo, lo que podría explicar por qué Euler lo eligió. $ \def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}} \def\rr{\mathbb{R}} $

Al principio, podría parecer más natural escribir $ai+b$ como " $ax+b$ " donde $x$ es la variable, pero eso es útil sobre todo cuando se desvirtúan los términos constantes. Aquí no es el caso, porque $i$ es la constante. $\{1,i\}$ forman la base estándar de los números complejos sobre los reales, por lo que en este entorno se puede pensar en un número complejo como $a·1+b·i$ y dejamos de lado el " $1$ "porque es redundante. Si esto fuera todo, no habría ninguna razón para preferir un ordenamiento de los elementos de la base sobre el otro. Sin embargo, $1$ es de hecho muy especial, ya que es la identidad multiplicativa.

Esta particularidad de $1$ resulta en varios hechos que favorecen ponerlo en primer lugar:

1. Los reales se integran en los números complejos como números de la forma $a+bi$ donde $b = 0$ . Por lo tanto, tiene sentido poner primero la parte real. Los reales forman un campo, mientras que los números puramente imaginarios no, por lo que podemos ver los números complejos como una extensión de campo de los reales, por lo que es natural extender igualmente la representación añadiendo un " ${}+bi$ ".

2. $\exp(iz) = \cos(z) + i·\sin(z)$ para cualquier complejo $z$ . Obtenido de la serie Taylor, $\cos(z)$ es el término asintóticamente significativo que aproxima $\exp(iz)$ como $z \to 0$ . Así que tiene sentido ponerlo en primer lugar. Obsérvese también que solemos escribir " $i·\sin(z)$ " para enfatizar el punto de vista de que esta ecuación relaciona $\exp,\cos,\sin$ en el que $i$ es simplemente un coeficiente. Las cuestiones tipográficas establecieron esta forma en la historia como $\operatorname{cis}$ Pero creo que es muy probable que quien redescubra la identidad elija la misma forma.

3. Relacionado con lo anterior, $r·\exp(it)$ de verdad $r,t$ no sólo es la forma polar de un número complejo, sino que también puede verse como una transformación en espiral (escala más rotación) alrededor del origen. La transformada espiral de identidad es simplemente $1 = \cos(0)+i·\sin(0)$ Así que, de nuevo, tiene sentido tener el $\cos(0)$ primero.

4. Al definir el logaritmo complejo como la inversa de la función exponencial compleja, es decir, mediante $\ln(r·\exp(it)) := \ln(r)+it$ de verdad $r,t$ donde $r > 0$ y $t \in (-π,π]$ tiene sentido poner la escala $r$ primero antes de la rotación $\exp(it)$ porque las escalas son, en cierto sentido, más sencillas. Por ejemplo, preservan los reales y tienen matrices de transformación diagonales.