Hemos establecido X = N{0} .
Tenemos la operación definida como: ab = b+2.
Ahora el álgebra se define como (X,) .
¿Cómo puedo encontrar todas las subálgebras de dicha álgebra?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bien, entonces tenemos la estructura algebraica $(\{0,1,2,\cdots\},\heartsuit)$ donde $a\,\heartsuit\, b=b+2$ para todos $a,b$ .
Así que si $Y$ es cualquier subestructura y $y\in Y$ entonces todos los elementos
$$y\,\heartsuit\,y, \quad y\,\heartsuit\,(y\,\heartsuit\,y), \quad y\,\heartsuit\,( y\,\heartsuit\,(y\,\heartsuit\,y)), \quad \cdots$$
están en $Y$ En otras palabras $\{y,y+2,y+4,\cdots\}\subseteq Y$ .
Podemos dividir $Y=Y_0\sqcup Y_1$ en sus subconjuntos $Y_0$ y $Y_1$ de elementos pares e Impares respectivamente. Demuestre que si $a$ y $b$ son elementos mínimos de $Y_0$ y $Y_1$ respectivamente, entonces
$$Y_0=\{a,a+2,a+4,\cdots\}, \quad Y_1=\{b,b+2,b+4,\cdots\}.$$
Así, las subestructuras $Y$ están en correspondencia uno a uno con la colección de conjuntos de la forma $\{a\}$ , $\{b\}$ o $\{a,b\}$ donde $a,b$ son enteros no negativos pares e Impares respectivamente. (Los conjuntos únicos corresponden a cuando uno de $Y_0$ o $Y_1$ está vacío).
