Wikipedia: Para cualquier finitely presentado el grupo es fácil construir un (suave) compacto 4-colector con él como su grupo fundamental.
Pregunta: ¿Cómo hacemos esto?
EDIT: a Continuación es una prueba de croquis de encontrar en otros lugares con algunas preguntas específicas de mi propia negrita:
Deje $F = \left\langle S \mid R \right\rangle$ s.t. $|S| \in \mathbb{N}$.
Deje $X$ $4$- colector.
Representar cada relación en $R$ por un bucle en $X$.
¿Qué significa exactamente esto?
Suponga que el bucle es un suave, simple y cerrada curva.
Reemplazar el bucle por un tubular vecindario $N$, que es homeomórficos a $S^1 \times D^3$.
El límite de $N$ es homeomórficos a $S^1 \times S^2$.
Borrar el interior de $N$.
Ahora $S^1 \times S^2$ es también el límite de $D^2 \times S^2$, así que tome una copia de $D^2 \times S^2$ y usarlo para rellenar en el conjunto de la identificación en el límite.
Cómo es este procedimiento de identificación lleva a cabo?
Ahora uso Seifert Van-Kampen para demostrar que ha matado el generador.
No estoy exactamente seguro de lo que se quiere decir aquí, pero creo que una vez que entiendo el por encima en negrita esto tendrá más sentido.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Comience con el cerrado $4$-colector $X = (S^3 \times S^1) \# \cdots \# (S^3 \times S^1)$, el conectado suma de $|S|$ copias de $S^3 \times S^1$. El uso de Seifert-van Kampen, se puede comprobar que $\pi_1(X) \cong \langle a_1, \dots, a_{|S|}\rangle$ donde $a_i$ está representado por el $S^1$-factor de la $i^\text{th}$ $S^3 \times S^1$ sumando de a $X$.
Cada relación puede ser representada por un suave lazo en $X$. Por ejemplo, la relación $a_2 a_1^2 a_3^{-1}$ está representado por el bucle en $X$ que la primera vez que va alrededor de la $S^1$-factor en la $2^\text{nd}$ $S^3 \times S^1$-sumando, entonces va alrededor de la $S^1$-factor en la $1^\text{st}$ $S^3 \times S^1$-sumando dos veces, y finalmente va alrededor de la $S^1$-factor en la $3^\text{rd}$ $S^3 \times S^1$ factor de marcha atrás (necesitamos tener una orientación elegida para cada una de las $a_i$). Indicar el bucle en $X$ correspondiente a los la $j^\text{th}$ relación $b_j$.
Cada uno de los bucles $b_j$ tiene un tubular vecindario $N_j$, que es una copia de $S^1 \times D^3$ incrustado en $X$. El límite de $N_j$ es homeomórficos a $S^1 \times S^2$. Tenga en cuenta que $D^2 \times S^2$ también tiene límite de $S^1 \times S^2$. Por lo tanto podemos cortar $N_j$ $X$ e inserte una copia de $D^2 \times S^2$, en su lugar, colgándolo en el "vacío" $S^1 \times S^2$ a la izquierda detrás en $X \setminus \text{int}(N_j)$.
El único paso que queda es comprobar que la eliminación de $N_j$ y reemplazarlo con una copia de $D^2 \times S^2$ tiene el efecto de matar a $b_j$. Deje $X_j$ denotar el colector obtenidos a partir de $X$ por este proceso. Tenemos que $$X_j = (X \setminus \text{int}(N_j)) \cup_{S^1 \times S^2} (D^2 \times S^2).$$ Ahora \begin{align*} \pi_1(X \setminus \text{int}(N_j)) & = \langle a_1, \dots, a_{|S|} \rangle, \\ \pi_1(D^2 \times S^2) & = 0, \\ \pi_1(S^1 \times S^2) & = \langle c \rangle, \end{align*} donde $c$ está representado por $S^1 \times \{\text{pt}\}$$S^1 \times S^2$. Tenga en cuenta que la imagen de $c$ $X_j$ es, precisamente, la curva de $b_j$. Por lo tanto, por Seifert-van Kampen tenemos que $$\pi_1(X_j) = \langle a_1, \dots, a_{|S|} \mid b_j \rangle.$$
Si $X'$ denota el resultado de hacer esta cirugía de todos los $b_j$'s, tenemos que \begin{align*} \pi_1(X') & = \langle a_1, \dots, a_{|S|} \mid b_1, \dots, b_{|R|} \rangle \\ & = \langle S \mid R \rangle. \end{align*}
