Este semestre estoy ayudando a mi mentor a impartir un curso de grado de primer año sobre álgebra lineal en la Universidad de Pekín, China. Y ahora hemos llegado al famoso determinante de Vandermonde, que tiene muchas aplicaciones útiles. Me pregunto si hay algunas aplicaciones del determinante de Vandermonde que sean adecuadas para estudiantes sin mucha formación matemática.
Por ejemplo, utilizando el determinante de Vandermonde, podemos demostrar que un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ de característica 0 no puede expresarse como una unión finita de sus subespacios no triviales, es decir, no existen subespacios $V_1,\ldots,V_m$ que satisfagan $$ V_1\cup \cdots\cup V_m=V,$$ donde $V_i\ne \{0\}$ y $V_i\ne V$ para todos $i=1,2,\ldots,m$ .
Esto se puede demostrar de la siguiente manera: elija $v_1,\ldots,v_n$ como base de $V$ y considerar la serie infinita $$ \alpha_i = v_1 + iv_2+\cdots+i^{n-1}v_n.$$ Utilizando nuestro conocimiento del determinante de Vandermonde, se puede demostrar que todo subconjunto de la $\alpha$ de tener $n$ vectores en ella consiste en una base de $V$ por lo que cada uno de los $V_i$ puede contener como máximo $n-1$ de la $\alpha$ en ella, por lo que debe haber infinitas $\alpha$ no está contenida en ninguno de los $V_i$ 's.
