Maravillosas aplicaciones del determinante de Vandermonde

Question

Este semestre estoy ayudando a mi mentor a impartir un curso de grado de primer año sobre álgebra lineal en la Universidad de Pekín, China. Y ahora hemos llegado al famoso determinante de Vandermonde, que tiene muchas aplicaciones útiles. Me pregunto si hay algunas aplicaciones del determinante de Vandermonde que sean adecuadas para estudiantes sin mucha formación matemática.

Por ejemplo, utilizando el determinante de Vandermonde, podemos demostrar que un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ de característica 0 no puede expresarse como una unión finita de sus subespacios no triviales, es decir, no existen subespacios $V_1,\ldots,V_m$ que satisfagan $$ V_1\cup \cdots\cup V_m=V,$$ donde $V_i\ne \{0\}$ y $V_i\ne V$ para todos $i=1,2,\ldots,m$ .

Esto se puede demostrar de la siguiente manera: elija $v_1,\ldots,v_n$ como base de $V$ y considerar la serie infinita $$ \alpha_i = v_1 + iv_2+\cdots+i^{n-1}v_n.$$ Utilizando nuestro conocimiento del determinante de Vandermonde, se puede demostrar que todo subconjunto de la $\alpha$ de tener $n$ vectores en ella consiste en una base de $V$ por lo que cada uno de los $V_i$ puede contener como máximo $n-1$ de la $\alpha$ en ella, por lo que debe haber infinitas $\alpha$ no está contenida en ninguno de los $V_i$ 's.

Answer 1

Me encantó encontrarme con lo siguiente como estudiante:

El determinante de Vandermonde desempeña un papel en la demostración del teorema 90 de Hilbert en la sección 9.6 de la obra de Schilling y Piper Álgebra abstracta básica .

Ciertamente, debería tomarme el tiempo de escribir este argumento en un rato. Sólo quería hacer la referencia.

Answer 2

El determinante de Vandermonde desempeña un papel en la demostración por parte de Kempf y Kleiman-Laksov de la parte de existencia del famoso teorema de Brill-Noether (formulado, pero no demostrado, por Brill y Noether): un general, género $g$ La curva proyectiva tiene un haz de líneas algebraico de grado $d$ y $(r+1)$ -espacio dimensional de secciones globales si y sólo si el "recuento ingenuo de parámetros" para la dimensión de los mismos, $\rho(g,r,d) = g-(r+1)(g-r+d)$ no es negativo. La cuestión es que establecen la fórmula enumerativa para contar el número de tales haces de líneas (satisfaciendo algunas condiciones adicionales apropiadas). Milagrosamente, la fórmula resulta en un determinante de Vandermonde que puede ser evaluado explícitamente como no nulo (a diferencia de muchos problemas enumerativos similares en geometría algebraica que no tienen tal fórmula cerrada).

Answer 3

La integral de Selberg, $$S_{n} (\alpha, \beta, \gamma) = \int_0^1 \cdots \int_0^1 \prod_{i=1}^n t_i^{\alpha-1}(1-t_i)^{\beta-1} \prod_{1 \le i < j \le n} |t_i - t_j |^{2 \gamma}\,dt_1 \cdots dt_n$$ implica un Vandermonde y, a pesar de ser bastante complicado, es exactamente resoluble: $$ S_{n} (\alpha, \beta, \gamma) = \prod_{j = 0}^{n-1} \frac {\Gamma(\alpha + j \gamma) \Gamma(\beta + j \gamma) \Gamma (1 + (j+1)\gamma)} {\Gamma(\alpha + \beta + (n+j-1)\gamma) \Gamma(1+\gamma)}. $$

Answer 4

Encontré una propiedad notable del determinante de Vandermonde. Basándonos en esta propiedad podemos introducir una noción de "diferencia entre n>2 cantidades". A continuación doy el resumen de este resultado.

La noción de diferencia entre dos cantidades desempeña un papel básico en las matemáticas y, por consiguiente, en todas las ramas de la actividad humana donde se aplican las matemáticas. Sin embargo, la pregunta que se plantea desde hace tiempo es: ¿qué es la diferencia entre tres (o más) cantidades}? La operación binaria $[a,b]=(a-b)$ posee la siguiente característica principal: con respecto a la tercera cantidad $c$ esta operación se descompone en una suma de las mismas operaciones entre $a$ y $c$ y $c$ y $b$ es decir, $$ [a,b]=[a,c]+[c,b]. $$ Denota por $[a,b,c]$ diferencia entre tres cantidades $a,b,c$ . En cuanto a la cantidad adicional $d$ esta definición del diferencia tiene que poseer con la siguiente propiedad $$ [a,b,c]=[d,b,c]+[a,d,c]+[a,b,d]. $$ Demostramos que esta propiedad de diferencia entre tres (o $n\geq 2$ ) se cumple con una de las características de Vandermonde de Vandermonde.

Answer 5

La segunda demostración del teorema de Belyi. https://web.archive.org/web/20120703213625/http://www.math.technion.ac.il/Office_adm/mathedu/all/messages/1332141089.pdf