Maravillosas aplicaciones del determinante de Vandermonde

Question

Este semestre estoy ayudando a mi mentor a impartir un curso de grado de primer año sobre álgebra lineal en la Universidad de Pekín, China. Y ahora hemos llegado al famoso determinante de Vandermonde, que tiene muchas aplicaciones útiles. Me pregunto si hay algunas aplicaciones del determinante de Vandermonde que sean adecuadas para estudiantes sin mucha formación matemática.

Por ejemplo, utilizando el determinante de Vandermonde, podemos demostrar que un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ de característica 0 no puede expresarse como una unión finita de sus subespacios no triviales, es decir, no existen subespacios $V_1,\ldots,V_m$ que satisfagan $$ V_1\cup \cdots\cup V_m=V,$$ donde $V_i\ne \{0\}$ y $V_i\ne V$ para todos $i=1,2,\ldots,m$ .

Esto se puede demostrar de la siguiente manera: elija $v_1,\ldots,v_n$ como base de $V$ y considerar la serie infinita $$ \alpha_i = v_1 + iv_2+\cdots+i^{n-1}v_n.$$ Utilizando nuestro conocimiento del determinante de Vandermonde, se puede demostrar que todo subconjunto de la $\alpha$ de tener $n$ vectores en ella consiste en una base de $V$ por lo que cada uno de los $V_i$ puede contener como máximo $n-1$ de la $\alpha$ en ella, por lo que debe haber infinitas $\alpha$ no está contenida en ninguno de los $V_i$ 's.

Answer 1

Probablemente no sea una aplicación para cualquier público, pero pensé en compartirla...

El determinante de Vandermonde aparece en los modelos matriciales de las teorías cuánticas de campo. A grandes rasgos, en estos consideramos integrales de la forma

$\int dM f(M)$ ,

sobre el espacio de las matrices hermitianas, donde $f$ es invariante bajo conjugación por matrices unitarias, y $dM$ es la medida (también invariante de la conjugación)

$dM = (\prod_i dM_{ii})(\prod_{i\lt j} dM_{ij})$ .

Queremos calcular la integral por fijación de galgas. En otras palabras, integrar sobre un conjunto de representantes de cada $U(N)$ órbita. Normalmente el mejor conjunto de representantes a tomar son las matrices diagonales. El procedimiento para evaluar la integral en ese caso es exactamente el de la fórmula de integración de Weyl. Al hacerlo obtenemos lo que los físicos llaman el determinante de Faddeev-Popov, ¡que resulta ser el determinante de Vandermonde! En otras palabras, obtenemos una integral equivalente

$\int d\lambda_1 ... d\lambda_N \Delta(\lambda_1, ...,\lambda_N) f(\operatorname{diag}(\lambda_1,...,\lambda_N))$ ,

donde $\Delta$ es el determinante de Vandermonde.

Answer 2

Hay una elegante (¡y corta!) aplicación del determinante de Vandermonde (generalizado) al famoso problema de D. H. Lehmer en el artículo [D.C. Cantor y E.G. Straus, Acta Arith. 42 (1982/83), nº 1, 97--100]. Pongo aquí ( Archivo de Internet ) un escaneo del artículo junto con las correcciones dadas por los autores posteriormente. (También disponible en eudml junto con un corrección )

Answer 3

El determinante de Vandermonde se utiliza para demostrar que los politopos cíclicos maximizan el número de $i$ -de caras para cada $i$ entre todas las triangulaciones de un $(d-1)$ -Esfera de dimensiones que tiene exactamente n vértices. El politopo cíclico $C(n,d)$ es el casco convexo de cualquier $n$ puntos distintos de la curva de momento { $(t,t^2,\dots ,t^d) | t\in {\mathbf R} $ } $ \subseteq {\mathbf R}^d$ . Me gusta la discusión de los politopos cíclicos en el libro de G "unter Ziegler "Lectures on Polytopes". El artículo de wikipedia es.wikipedia.org/wiki/Politopo cíclico también parece dar un buen resumen rápido.

Answer 4

Definición del signo de una permutación : si $\sigma\in \mathfrak{S}_n$ actúa por permutación de los indeterminados $X_1,\dots,X_n$ entonces actúa sobre el determinante de Vandermonde $V(X_1,\dots,X_n):=\det(X_i^j)$ multiplicándolo por un signo $\epsilon(\sigma)\in \{\pm 1\}$ . Esta es la forma más fácil que conozco para demostrar que $\epsilon:\mathfrak{S}_n\to \{\pm 1\}$ es un morfismo de grupos.

Answer 5

En cuanto a las aplicaciones en la teoría de funciones simétricas... bueno, abre un libro de teoría de funciones simétricas en una página al azar y mira las fórmulas. Por lo general, algo que se parece a un determinante de Vandermonde le devolverá la mirada. Por ejemplo: Crawley-Boevey, Conferencias sobre la teoría de la representación ( Archivo de Internet ) lo utiliza en la página 18. Ah, y por supuesto también utiliza el determinante de Cauchy. Aunque lo deriva de un argumento geométrico, también se puede demostrar puramente algebraico ( Archivo de Internet ), y la prueba utiliza Vandermonde. (De nuevo, no estoy afirmando que la prueba sea nueva. De hecho creo que la he visto en alguna parte, pero no he podido encontrarla de nuevo...)