Maravillosas aplicaciones del determinante de Vandermonde

Question

Este semestre estoy ayudando a mi mentor a impartir un curso de grado de primer año sobre álgebra lineal en la Universidad de Pekín, China. Y ahora hemos llegado al famoso determinante de Vandermonde, que tiene muchas aplicaciones útiles. Me pregunto si hay algunas aplicaciones del determinante de Vandermonde que sean adecuadas para estudiantes sin mucha formación matemática.

Por ejemplo, utilizando el determinante de Vandermonde, podemos demostrar que un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ de característica 0 no puede expresarse como una unión finita de sus subespacios no triviales, es decir, no existen subespacios $V_1,\ldots,V_m$ que satisfagan $$ V_1\cup \cdots\cup V_m=V,$$ donde $V_i\ne \{0\}$ y $V_i\ne V$ para todos $i=1,2,\ldots,m$ .

Esto se puede demostrar de la siguiente manera: elija $v_1,\ldots,v_n$ como base de $V$ y considerar la serie infinita $$ \alpha_i = v_1 + iv_2+\cdots+i^{n-1}v_n.$$ Utilizando nuestro conocimiento del determinante de Vandermonde, se puede demostrar que todo subconjunto de la $\alpha$ de tener $n$ vectores en ella consiste en una base de $V$ por lo que cada uno de los $V_i$ puede contener como máximo $n-1$ de la $\alpha$ en ella, por lo que debe haber infinitas $\alpha$ no está contenida en ninguno de los $V_i$ 's.

Answer 1

Tal vez esto debería ser un comentario bajo la respuesta de Darij Grinberg o Terry Tao, pero de todos modos: el discriminante de un polinomio mónico es el cuadrado del determinante de Vandermonde evaluado en las raíces del polinomio. Los estudiantes de grado que avanzaron a un curso de álgebra lineal deben haber encontrado al menos el discriminante de un cuadrático--aunque en este caso la relación entre el Vandermondiano y el discriminante no es tan maravillosa...

Answer 2

Especialmente para los estudiantes con una formación muy básica, puede ser un hecho divertido que matrices de acompañamiento están diagonalizados por la matriz de Vandermonde correspondiente a los ceros del polinomio característico que codifican, siempre y cuando, por supuesto, las raíces sean todas distintas.

Answer 3

La fórmula del determinante de Vandermonde implica que las matrices de Vandermonde son distancia máxima separable y, por tanto, puede utilizarse para construir códigos de corrección de errores con buenas propiedades ( Códigos BCH en particular).

Answer 4

Los vectores correspondientes a cualquier $n$ puntos distintos de la curva normal racional $x\to (x,x^2,\dots,x^n) \subset \mathbb{A}^n$ span $\mathbb{A}^n$ .

Answer 5

Hace tiempo que quería poner esto en línea, pero nunca llegué a hacerlo. Ahora es una buena ocasión:

http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/index.html#hyperfactorial

o, directamente, el archivo PDF: http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/hyperfactorialBRIEF.pdf

Se trata de un teorema de MacMahon que afirma que para tres enteros no negativos cualesquiera $a$ , $b$ , $c$ el número $\frac{H\left(a\right)H\left(b\right)H\left(c\right)H\left(a+b+c\right)}{H\left(b+c\right)H\left(c+a\right)H\left(a+b\right)}$ es un número entero, donde $H\left(m\right)$ significa $0!\cdot 1!\cdot ...\cdot \left(m-1\right)!$ . Ahora hay varias pruebas de esto, algunas de ellas combinatorias (ver las referencias en la nota), pero la más sencilla es probablemente la que doy usando el determinante de Vandermonde (no creo que sea nueva...).

La nota es un poco larga (10 páginas), pero la prueba termina en la página 6. También hay que tener en cuenta que demuestro el propio Vandermonde, lo que también ocupa algo de espacio. Otra aplicación de Vandermonde aparece en la página 9: Si $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_m$ son $m$ enteros, entonces $\prod\limits_{1\leq i < j\leq m}\left(a_i-a_j\right)$ es divisible por $H\left(m\right)$ . Esto es muy conocido (y la prueba también).

Por último, una pequeña pregunta - un poco fuera de tema, lo sé. Volviendo a la $\frac{H\left(a\right)H\left(b\right)H\left(c\right)H\left(a+b+c\right)}{H\left(b+c\right)H\left(c+a\right)H\left(a+b\right)}$ problema, se podría intentar demostrar que se trata de un número entero mostrando que todo primo $p$ divide $H\left(a\right)H\left(b\right)H\left(c\right)H\left(a+b+c\right)$ al menos con la misma frecuencia con la que se divide $H\left(b+c\right)H\left(c+a\right)H\left(a+b\right)$ . Esto puede demostrarse fácilmente como equivalente a lo siguiente: Cualquier entero no negativo $a$ , $b$ , $c$ satisfacer

$\sum\limits_{k=0}^{a-1} \lfloor \frac{k}{p} \rfloor + \sum\limits_{k=0}^{b-1} \lfloor \frac{k}{p} \rfloor + \sum\limits_{k=0}^{c-1} \lfloor \frac{k}{p} \rfloor + \sum\limits_{k=0}^{a+b+c-1} \lfloor \frac{k}{p} \rfloor$ $\geq \sum\limits_{k=0}^{b+c-1} \lfloor \frac{k}{p} \rfloor + \sum\limits_{k=0}^{c+a-1} \lfloor \frac{k}{p} \rfloor + \sum\limits_{k=0}^{a+b-1} \lfloor \frac{k}{p} \rfloor$ .

(Sí, se puede demostrar que el $p^2$ , $p^3$ ... los términos pueden ser ignorados). ¿Hay alguna manera fácil de ver esto? ¿O alguna manera, sin volver al determinante de Vandermonde?