Maravillosas aplicaciones del determinante de Vandermonde

Question

Este semestre estoy ayudando a mi mentor a impartir un curso de grado de primer año sobre álgebra lineal en la Universidad de Pekín, China. Y ahora hemos llegado al famoso determinante de Vandermonde, que tiene muchas aplicaciones útiles. Me pregunto si hay algunas aplicaciones del determinante de Vandermonde que sean adecuadas para estudiantes sin mucha formación matemática.

Por ejemplo, utilizando el determinante de Vandermonde, podemos demostrar que un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ de característica 0 no puede expresarse como una unión finita de sus subespacios no triviales, es decir, no existen subespacios $V_1,\ldots,V_m$ que satisfagan $$ V_1\cup \cdots\cup V_m=V,$$ donde $V_i\ne \{0\}$ y $V_i\ne V$ para todos $i=1,2,\ldots,m$ .

Esto se puede demostrar de la siguiente manera: elija $v_1,\ldots,v_n$ como base de $V$ y considerar la serie infinita $$ \alpha_i = v_1 + iv_2+\cdots+i^{n-1}v_n.$$ Utilizando nuestro conocimiento del determinante de Vandermonde, se puede demostrar que todo subconjunto de la $\alpha$ de tener $n$ vectores en ella consiste en una base de $V$ por lo que cada uno de los $V_i$ puede contener como máximo $n-1$ de la $\alpha$ en ella, por lo que debe haber infinitas $\alpha$ no está contenida en ninguno de los $V_i$ 's.

Answer 1

Determinantes de Vandermonde + regla de Cramer = interpolación de Lagrange.

(EDIT: Además, existe una versión cualitativa de la identidad anterior: basta con saber que el determinante de Vandermonde es no evanescente cuando el $x_i$ son distintos, ya se puede deducir que la interpolación polinómica es teóricamente posible Aunque para obtener la información precisa fórmula todavía hay que pasar por la identidad anterior).

Answer 2

Tal vez no sea realmente adecuado para los estudiantes de grado (a menos que estén realmente orientados a la resolución de problemas), pero hay una buena prueba de que $$\prod_{1\leq i \lt j\leq n} \frac{x_j-x_i}{j-i}$$ es entero para todas las secuencias enteras $(x_k)_{k=1}^n$ utilizando los determinantes de Vandermonde. La idea es reducir la tesis al hecho de que la matriz $$\begin{bmatrix}1 & 1 & \dots \newline \binom{x_1}{1} & \binom{x_2}{1} & \dots \newline \binom{x_1}{2} & \binom{x_2}{2} & \dots \newline \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$$ tiene entradas enteras y, por tanto, un determinante entero. Después de despejar los denominadores (que dan el factor $\prod \frac{1}{j-i}$ ), se puede transformar el determinante resultante en un Vandermonde con operaciones básicas de fila.

Answer 3

Por supuesto, lo que es "maravilloso" es bastante subjetivo. Una aplicación sencilla que me gusta es mostrar que las funciones $e^{cx}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$ . Otra es que si $\operatorname*{tr}{(A^n)}=0$ para todos $n$ entonces $A$ es nilpotente.

Answer 4

(1) No es realmente una aplicación, pero el artículo de I. Gessel, Tournaments and Vandermonde's determinant, J. Teoría de Grafos 3 (1979), 305-308, ofrece una buena conexión con los torneos. Véase también el ejercicio 2.16 de mi libro Combinatoria Enumerativa vol. 1 (equivalente al ejercicio 2.35 en http://math.mit.edu/~rstan/ec/ec1.pdf ).

(2) Probablemente no sea adecuado para un curso de grado, pero si $s_{(n-1,n-2,\dots,1)}$ denota la función de Schur de la escalera forma $(n-1,n-2,\dots,1)$ entonces la evaluación $$ s_{(n-1,n-2,\dots,1)}(x_1,\dots,x_n)=\prod_{1\leq i \lt j\leq n} (x_i+x_j) $$ se deduce inmediatamente de la fórmula bialternante de las funciones de Schur, ya que se reduce al cociente de dos Vandermonde: $\prod (x_i^2-x_j^2)/\prod(x_i-x_j)$ . Véase el ejercicio 7.30 de Combinatoria Enumerativa , vol. 2.

Answer 5

La transformada discreta de Fourier, que envía un vector $x=\left(x_j\right)_{j=0}^{N-1}$ a $y=\mathrm{DFT}(x)$ tal que $$y_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}e^{2\pi i \times jk/N}x_j$$ tiene una representación matricial $$\mathrm{DFT}_{jk}=e^{2\pi i \times jk/N}=\left(e^{2\pi i /N}\right)^{j\times k},$$ que en realidad es un doblemente Matriz de Vandermonde: tanto ella como su transpuesta son matrices de Vandermonde. Con esto se puede utilizar el determinante de Vandermonde para demostrar que $\mathrm{DFT}$ es no singular, y si demuestras por otros medios que es unitaria (bastante fácil) entonces obtendrás, creo, una expresión no trivial para 1 como producto de diferencias de raíces de la unidad.