Demostrar que si $P$ y $Q$ son proyectivas y de generación finita $R$ -módulos entonces $\operatorname{Hom}_{R}(P,Q)$ es proyectiva y de generación finita.

Question

Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo y $P$ y $Q$ son proyectivas y finitamente generadas $R$ -módulos. Demostrar que $\operatorname{Hom}_{R}(P,Q)$ es proyectiva y de generación finita.

Supongamos que prueban que $Hom_{R}(P,Q)$ es de generación finita por lo que sus generadores serán $\left \langle \varphi_{1} ,\varphi_{2} ,...\varphi_{s} \right \rangle$ considera este diagrama:

para cada $\varphi _{i}$ , $1\leq i\leq s$ tenemos $f(\varphi _{i})=b_{i}, b_{i}\in B$ .

porque $g$ es suryente para estos $f(\varphi _{i})$ hay $a_{i}\in A$ que $g(a_{i})=f(\varphi _{i})$ .

Defino $h(\varphi _{i})=a_{i}$ así que $g(h(\varphi _{i}))=g(a_{i})=f(\varphi _{i})$ así $Hom_{R}(P,Q)$ es proyectiva.

Creo que esta solución es la correcta. Ahora no sé cómo debo demostrar que $Hom_{R}(P,Q)$ está generada finitamente.

una pista o una sugerencia sería genial.

Answer 1

Si $P$ es proyectiva y está generada finitamente, entonces $P$ es un sumando directo en un módulo libre de rango finito, digamos $n$ . Entonces $\operatorname{Hom}_R(P,Q)$ es un sumando directo de $Q^n$ por lo que es proyectiva y de generación finita. (Si la conclusión es demasiado abrupta se puede hacer lo mismo para $Q$ es un sumando directo en un módulo libre de rango finito, digamos $m$ . Al final, $\operatorname{Hom}_R(P,Q)$ es un sumando directo de $R^{mn}$ .)