Encuentre $\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 2n}^{10n} \frac{1}{k}$

Question

Encuentre $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 2n}^{10n} \frac{1}{k}$$

Así es como intenté resolver esto:
Tenemos que encontrar el límite de esta expresión: $$(\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} + \dots + \frac{1}{10n})$$ Que de hecho es $$H_{10n} - H_{2n-1}$$ Y así el problema se convierte en $$\lim_{n \to \infty} (H_{10n} - H_{2n-1})$$ Ahora, utilizo la aproximación de que $n \to \infty \Rightarrow H_n \sim \ln(n)$ $$ \lim_{n \to \infty}(\ln(10n) - \ln(2n-1)) = \lim_{n \to \infty}(\ln \frac{10n}{2n-1}) = \ln(5) $$ ¿Es la forma correcta de resolver esto?

Answer 1

Utilizar una aproximación suele ser peligroso, a menos que puedas respaldarla. Yo lo había pensado mejor. También puedes usar integrales para calcular este límite de la siguiente manera:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2n}+\dots+\frac{1}{10n} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=2}^{9}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{i+\frac{k}{n}} = \sum\limits_{i=2}^9 \int\limits_0^1 \frac{1}{x+i}dx $$ $$ = \sum\limits_{i=2}^9 (\ln(1+i)-\ln(i)) = \ln10-\ln2 = \ln5 $$

Answer 2

Su aproximación $H_n\sim\ln n$ no es lo suficientemente preciso para demostrarlo. Pero hay una asintótica más ajustada con un término de error: $$H_n=\ln n+\gamma+O(1/n)$$ que es suficiente. Aquí $\gamma$ es la constante de Euler. Considerando $H_{5n}-H_{2n-1}$ el $\gamma$ s se cancelan, y el término de error sigue siendo $O(1/n)$ que va a cero.

Answer 3

Sugerencia : Utiliza las sumas de Riemann.

$$\lim_{n\to \infty} \sum_{2n}^{10n} \frac 1k=\lim_{n\to \infty} \frac 1n \sum_{2n}^{10n} \frac nk=\int_{\frac {1}{10}}^{\frac 12} \frac {dx}{x}$$