Resolver $y''+xy'+y=0$

Question

Así que, como pregunta de tarea, estoy tratando de resolver $y''+xy'+y=0$ .

He comprobado que esto es exacto y da $$(y'+xy)'=0$$ $$y'+xy = C_1$$ Uso del factor integrador $e^{\int xdx} = e^{x^2/2}$ : $$(ye^{x^2/2})' = C_1 e^{x^2/2}$$ En este punto, la integración de $e^{x^2/2}$ que no se puede hacer (sin utilizar la función de error).

Me adelanté a resolverlo y conseguí $$y=C_1e^{-x^2/2}\int e^{x^2/2}dx + C_2e^{-x^2/2}$$ que no parece ser la solución cuando se subsume en la ecuación original.

¿Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

Es correcto y creo que puede ser un error de contabilidad que le impide volver a su oda.

$$ y = C_{1}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\int \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}}dx + C_{2}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}= C_{1}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}I +C_{2}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} $$ si denotamos la integral de error como $I$ para simplificar encontramos $$ y^{'} = -xC_{1}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}I + C_{1}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\left(\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}}\right) - xC_{2}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} $$ Aquí la derivada de la función de error es simplemente la $\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}}$ como usted sabe. Simplificar los rendimientos $$ y^{'} = -x\left[C_{1}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}I +C_{2}\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\right] + C_{1} = -xy + C_{1} $$ ahora usando eso podemos tomar la derivada $$ y^{''} = -y - xy^{'} $$ y reordenando te devuelve la ecuación original $$ y^{''} + xy^{'}+y = 0 $$