La Equivalencia De Las Definiciones De Primer Ideal En El Anillo Sin $1$

Question

Deje $R$ ser un generador de números aleatorios, de modo que $1\not\in R$. Estoy tratando de mostrar que los siguientes son equivalencia de la definición del primer ideal $P$;

i) $AB\subseteq P$ $A,B\subseteq R$ implica $A\subseteq P$ o $B\subseteq P$

ii) $aRb\subseteq P$ $a,b\in R$ implica que el $a\in P$ o $b\in P$

Puedo mostrar ii) implica i) diciendo: supongamos que $AB\subseteq P$ $A\not\subseteq P$ $B\not \subseteq P$ $ARB\subseteq P$ y, a continuación, la fijación de los elementos de $A$ $B$ a su vez, y aplicando ii) da el resultado.

Me parece que no puede mostrar i) implica ii). Si $R$ $1$ esto es simple, pero sin ella, yo no estoy seguro de cómo proceder como el ideal generado por un elemento no es igual a $aR$.

Gracias por la ayuda

Answer 1

De (i) sabemos que si $(a)$ $(b)$ son los principales ideales en $R$ tal que $(a)(b)\subseteq P$, luego tenemos a $(a)\subseteq P$ o $(b)\subseteq P$, lo que implica que $a\in P$ o $b\in P$. Esto también es cierto para el producto de cualquier número finito de los principales ideales. De hecho, si $(a_1)(a_2)...(a_n)\subseteq P$, entonces al menos uno de ellos es el subconjunto de a $P$, por supuesto, si tenemos (yo).

Supongamos ahora que (i) es verdadera y supongamos que $aRb\subseteq P$. A continuación, $$RaRRbR\subseteq RaRbR\subseteq RPR\subseteq P.$ $ Desde $RaR$ $RbR$ son ideales de a $R$, (i) implica que $RaR\subseteq P$ o $RbR\subseteq P$. Ahora supongamos que $RaR\subseteq P$, luego $$(a)^3\subseteq R(\mathbb Za+Ra+aR+RaR)R\subseteq RaR\subseteq P.$$ Por (i), $(a)\subseteq P$, lo que implica que $a\in P$. Del mismo modo, si $RbR\subseteq P$ implica $b\in P$.