Uso de la transformada de Laplace para resolver convoluciones

Question

Encuentre $L^{-1}[\frac{1}{(p^2+a^2)^2}]$ por convolución.

Sé que $L^{-1}[\frac{1}{(p^2+a^2)^2}]=\frac{1}{2a^2}(\frac{\sin ax}{a}-x\cos ax)$ pero no sé cómo hacer esto usando convoluciones. Alguna ayuda sería realmente apreciada.

Answer 1

Debe evaluar $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s^2+a^2)^2}\right\}$

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Recordemos que: $$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\cdot G(s)\}=f(t)\ast g(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)~d\tau \tag{1}$$ Donde $F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}$ y $G(s)=\mathcal{L}\left\{g(t)\right\}$ .

La opción más lógica y obvia en su caso es seleccionar $F(s)=G(s)=\dfrac{1}{s^2+a^2}$ .

La transformada inversa de laplace de $\dfrac{1}{s^2+a^2}$ es obviamente $f(t)=g(t)=\dfrac{\sin(at)}{a}$ . Por lo tanto, desde $(1)$ debemos evaluar la siguiente integral:

$$\begin{align} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2+a^2)^2}\right\}&=\int_0^t \frac{\sin(a(t-\tau))}{a}\cdot \frac{\sin(a\tau)}{a}~d\tau\\&=\frac{1}{a^2}\int_0^t \sin(a(t-\tau))\sin(a\tau)~d\tau \tag{2} \end{align}$$ La evaluación de esto le dará la misma respuesta que usted tiene: $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2+a^2)^2}\right\}=\frac{\sin(at)-at\cos(at)}{2a^3}$$

Answer 2

Aunque la respuesta de projectilemotion es buena, vale la pena subrayar que el teorema de la convolución debería ser válido para cualquier factorización de la transformada en funciones que se comporten bien. Por ejemplo, podríamos factorizar la transformada de interés como \begin{align} F(p) &=\frac{1}{(p^2+a^2)^2}\\ &=\frac{1}{(p-ia)^2}\frac{1}{(p+ia)^2}\\ &=\frac{1}{p-ia}\frac{1}{p-ia}\frac{1}{p+ia}\frac{1}{p+ia}=G_+(p)^2 G_-(p)^2 \end{align} y entonces el teorema de convolución da como resultado

$$f(x)=L^{-1}[F(p)]=((g_+\ast g_+)\ast(g_- \ast g_-))(x)$$ donde $g_\pm (x)$ son las transformadas inversas de Laplace de $G_\pm (p)$ . B $L^{-1}[p^{-1}]=1$ por lo que la fórmula de desplazamiento de frecuencia implica $g_{\pm}(x)=L^{-1}[(p\pm i a)^{-1}]=e^{\mp i a x}$ . Por lo tanto,

$$(g_{\pm}\ast g_{\pm})(x) =\int_0^x g_{\pm}(y)g_{\pm}(x-y)\,dy =\int_0^x e^{\mp i a y}e^{\mp i a (x-y)}\,dx=xe^{\mp i a x}$$ y por lo tanto

\begin{align} f(x) &=\int_0^x (g_{\pm}\ast g_{\pm})(y)(g_{\pm}\ast g_{\pm})(x-y)\,dy\\ &=\int_0^x ye^{-i a y}(x-y)e^{i a (x-y)}\,dy\\ &=e^{i a x}\int_0^x y(x-y)e^{-2i a y}\,dy. \end{align} Esta última integral no es sencilla de realizar a mano, pero si utilizamos Mathematica obtenemos correctamente $f(x)=\frac{1}{2a^3}\left[\sin(ax)-ax \cos(ax)\right]$ . Así que ambas factorizaciones son igualmente válidas en lo que respecta al teorema de convolución (¡aunque la utilizada en la otra respuesta es bastante más eficiente!)