Demostrar la continuidad/discontinuidad de la función palomita (función de Thomae).

Question

Tengo que demostrar que una función $f:]0,1] \rightarrow \Bbb R$ : $$ f(x) = \begin{cases} \frac1q, & \text{if $x \in \Bbb Q$ with $ x=\frac{p}q$ for $p,q \in \Bbb N$ coprime} \\ 0, & \text{if $x \notin \Bbb Q $} \end{cases} $$

es discontinuo en cada punto $x \in \ ]0,1] \cap\Bbb Q$ .

Y luego considerar $x \in \ ]0,1] \backslash \Bbb Q$ y demostrar que es continua.

Por ahora he aprendido diferentes formas de demostrar la continuidad (épsilon-delta, secuencias), pero nunca estoy seguro de qué sería mejor usar en cada caso diferente.

Quería demostrar la discontinuidad utilizando secuencias: $$\forall x_n \quad x_n\rightarrow a \quad \Rightarrow \quad f(x_n) \rightarrow f(a)$$

He intentado crear una secuencia $ x_n=\frac1n + a$ sabemos que converge a $a$ pero $f(x_n)\ $ no converge a $\ f(a)$ porque seguiría habiendo algunos puntos que no están en nuestro conjunto (números irracionales que crean huecos).

Pero no creo que funcione, así que te pido si puedes ayudarme a resolver las dos preguntas.

Answer 1

Esto a veces se llama el Función de las palomitas de maíz ya que si se observa una imagen del gráfico, parece que los granos de las palomitas de maíz estallan. (También se denomina Función de Thomae .)

Para demostrar que es discontinua en cualquier punto racional se podría argumentar de la siguiente manera: Dado que los irracionales que están en $(0,1)$ son densos en $(0,1)$ dado cualquier número racional $p/q$ en $(0,1)$ Sabemos que $f(p/q) = 1/q$ . Pero dejemos $a_{n}$ sea una secuencia de irracionales que convergen a $p/q$ (según la definición de densidad). Entonces $\lim \limits_{a_{n} \to (p/q)} f(x) = 0 \neq f(p/q)$ . Así, $f$ no es continua en $x = p/q$ .

Ahora, para demostrar que es continua en cada punto irracional Te recomiendo que lo hagas de la siguiente manera:

1. Demuestra que para cada número irracional $x \in (0,1)$ , dado $N \in \Bbb N$ podemos encontrar $\delta_{N} > 0$ para que los números racionales en $(x - \delta_{N}, x + \delta_{N})$ todos tienen un denominador mayor que $N$ .

2. Una vez que tenemos el resultado de arriba, podemos utilizar el $\epsilon-\delta$ definición de continuidad para demostrar $f$ es continua en cada punto irracional.

Así que, primero prueba 1. (No es demasiado difícil.) Una vez que hayas hecho eso, puedes lograr 2. de la siguiente manera:

Dejemos que $\epsilon > 0$ . Sea $x \in (0,1)$ ser irracional. Elija $N$ para que $\frac{1}{n} \leq \epsilon$ por cada $n \geq N$ (por la propiedad arquimédica).

Por lo que has demostrado en 1., encuentra $\delta_{N} > 0$ para que $(x - \delta_{N}, x + \delta_{N})$ contiene sólo números racionales con denominadores mayores que $N$ .

Entonces, si $y \in (x-\delta_{N}, x + \delta_{N})$ , $y$ puede ser racional o irracional. Si $y$ es irracional, tenemos $|f(x) - f(y)| = |0 - 0| = 0 < \epsilon$ (ya que $f(z) = 0$ si $z$ es irracional).

Por otro lado, si $y$ es racional, tenemos $y = p/q$ con $q \geq N$ . Así que $|f(x) - f(y)| = |0 - f(y)| = |f(y)| = |1/q| \leq |1/N| < \epsilon$ y esto es cierto para cada $y \in (x-\delta_{N}, x + \delta_{N})$ .

Por lo tanto, dado cualquier $\epsilon > 0$ , si $x \in (0,1)$ es irracional, encontramos $\delta > 0$ (que en realidad era $\delta_{N}$ en la prueba) para que $|x - y| < \delta$ implica $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ .

Answer 2

Tu planteamiento de demostrarlo eligiendo una secuencia adecuada es viable, pero resulta más fácil si defines una secuencia (que sigue convergiendo a) en la que los miembros individuales son irracionales.

Para la segunda parte las secuencias son torpes porque, para demostrar la continuidad, habría que considerar cada la secuencia posible. Tienes que demostrar que cualquier fracción que se acerque lo suficiente a un número irracional dado a tiene un denominador grande más simple.