Una ecuación : $(a+ib)x^2-2cx+(a-ib)=0, a,b,c$ son reales y no nulos

Question

Se trata de una pregunta que plantea la condición sobre parámetros reales no nulos $a,b,c$ tal que la ecuación $$(a+ib)x^2-2cx+(a-ib)=0$$ tiene $(i):$ exactamente una raíz real, $(ii):$ exactamente una raíz puramente imaginaria, $(iii)$ dos raíces reales. Doy aquí mis respuestas/intento de confirmación ya que la respuesta a la misma no está disponible para mí.

(1): Sea $x=p$ sea la raíz real, entonces $(a+ib)p^2-2cp+(a-ib)=0 \implies ap^2-2cp+a=0 \& p^2=1.$ Al poner $p=\pm 1$ obtenemos $c=\pm a \implies c^2=a^2.$

(2): Sea $x=iq$ sea la raíz puramente imaginaria, entonces $-(a+ib)q^2-2icq+(a-ib)=0 \implies bq^2+2cq+b=0 \& q^2=1.$ Al poner $q=\pm 1$ obtenemos $c=\mp b \implies c^2=b^2.$

(3): Como la suma de las raíces de la cuadrática viene dada por $\alpha+\beta=\frac{2c}{a+ib}$ . Siendo la suma compleja (no real) ambas raíces no pueden ser reales para cualquier condición de los parámetros reales no nulos $a,b,c$ .

¿Son correctas mis respuestas?

Answer 1

$$\displaystyle (a+ib)x^2-2cx+(a-ib)=0, a,b,c \in R, \ne 0 ~(1)$$ Sí, tus respuestas y el planteamiento son correctos, puedes verificarlos utilizando las soluciones de la ecuación cuadrática: $$x=\frac{c\pm \sqrt{c^2-a^2-b^2}}{a+ib}~(2)$$ $$c=a \implies x=\frac{a\pm ib}{a+ib}=1,\frac{a-ib}{a+ib}.$$ $$c=-a \implies x=\frac{-a\pm ib}{a+ib}=\frac{-a+ib}{a+ib},-1.$$ De la misma manera, $$c=b \implies x=\frac{b\pm ia}{a+ib}= \frac{b+1a}{a+ib},-i,$$ $$c=-b \implies x=\frac{-b\pm ia}{a+ib}=i, \frac{-b-ia}{a+ib}.$$

Luego, (1) no puede tener ambas raíces como reales debido al Teorema Fundamental del Álgebra, según el cual si los coeficientes de una ecuación polinómica son complejos (no real) tendrá al menos una raíz compleja (no real).