Recordemos que todas las funciones de Riemann-integrables están definidas en un intervalo cerrado $[a,b]$ y están limitados allí. Por lo tanto, la integral $\int_0^a \frac{\sin(x)}{x} dx$ tiene un problema con la definición de integral. Sin embargo, el integrando puede extenderse a $\mathbb{R}$ definiendo el valor $1$ en $0$ . Ahora la extensión es Riemann-integrable sobre $[0,a]$ porque es continua por las propiedades de $\frac{\sin(x)}{x}$ es continua en $(0,a]$ como producto de funciones analíticas. Además tiene el límite $1$ en $0$ (recordar la derivación de las funciones trigonométricas). Por tanto, es continua en el intervalo $[0,a]$ . La extensión puede expresarse en términos de la función cardinal del seno mediante $\textrm{sinc}(x/\pi)$ , donde
$\textrm{sinc}(x) = \Bigg\{\begin{eqnarray} & \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} & , \ \ x \neq 0 \\ & 1 & , \ \ x = 0 \end{eqnarray}$ .
Debido a su existencia en el intervalo $[0,a]$ la expresión $\textrm{sinc}(x/\pi)$ se utiliza aquí como integrando. Por las definiciones de mis libros de estudio queda el $\pi$ en la definición de $\textrm{sinc}(x)$ . Se cancela en la expresión del integrando. Ahora $\int_0^a \textrm{sinc}(x/\pi) dx$ existe para cada $a\in \mathbb{R}^+$ .
Consideremos ahora la integral $\int_a^M \frac{\sin(x)}{x} dx$ . Tenemos \begin{eqnarray} \frac{|\cos(x)|}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} \ , \ \ x \geq a . \end{eqnarray} El lado derecho es un mayorante del lado izquierdo no negativo. El lado derecho también es integrable desde $a$ a $\infty$ . Por lo tanto, también el lado izquierdo es. Esto implica la existencia de $\int_a^\infty \frac{\cos(x)}{x^2} dx$ . Ahora tenemos \begin{eqnarray} \int_a^M \frac{\sin(x)}{x} dx & = & \Bigg|_a^M \frac{-\cos(x)}{x}-\int_a^M -\frac{-\cos(x)}{x^2} dx \\ & = & \frac{\cos(a)}{a}-\frac{\cos(M)}{M}-\int_a^M \frac{\cos(x)}{x^2} dx \end{eqnarray} para $M \geq a$ . Todos los términos del lado derecho tienen un límite como $M \rightarrow \infty$ . Por lo tanto, la integral $\int_a^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx$ existe para cada $a \in \mathbb{R}^+$ . Por lo tanto, podemos escribir \begin{eqnarray} \int_0^a \textrm{sinc}(x/\pi) dx + \int_a^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx & = & \int_0^a \textrm{sinc}(x/\pi) dx + \int_a^\infty \textrm{sinc}(x/\pi) dx \\ & = & \int_0^\infty\textrm{sinc}(x/\pi) dx \ . \end{eqnarray} Ahora todos los términos de la izquierda existen. Por lo tanto, también el lado derecho.
A continuación, analizamos la existencia de la respectiva integral de Lebesgue. Recordemos que por definición la integral de Lebesgue se obtiene por sustracción de las integrales de la parte positiva y de la parte negativa. La afirmación es que la integral diverge y tenemos que demostrar que al menos una de las integrales de la parte positiva y de la parte negativa divergen. Elegimos la parte positiva \begin{eqnarray} f^+(t) = \chi_{\bigcup_{k=0}^\infty[2\pi k, 2\pi (k+1/2)]} \textrm{sinc}(x/\pi) \ . \end{eqnarray} Obsérvese que podemos escribir una estimación de límite inferior divergente para la integral de Lebesgue porque acepta el valor de $\infty$ . Calculamos \begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R} \textrm\ \mathbb{R}^-} f^+(x) d\mu & = & \int_{\mathbb{R} \textrm\ \mathbb{R}^-} \chi_{\bigcup_{k=0}^\infty [2\pi k, 2\pi (k+1/2)]} \textrm{sinc}(x/\pi) d\mu \\ & \geq & \int_{\mathbb{R} \textrm\ \mathbb{R}^-} \chi_{\bigcup_{k=0}^n [2\pi k,2\pi (k+1/2)]} \textrm{sinc}(x/\pi) d\mu \\ & = & \sum_{k=0}^n \int_{[2\pi k, 2\pi(k+1/2)]} \textrm{sinc}(x/\pi) d\mu \\ & = & \sum_{k=0}^n \int_{2\pi k}^{2\pi (k+1/2)} \textrm{sinc}(x/\pi) dx \\ & = & \int_0^\pi \textrm{sinc}(x/\pi) dx + \sum_{k=1}^n \int_{2\pi k}^{2\pi (k+1/2)} \textrm{sinc}(x/\pi) dx \\ & = & \int_0^\pi \textrm{sinc}(x/\pi) dx + \sum_{k=1}^n \int_0^\pi \textrm{sinc}((x+2\pi k)/\pi) dx \\ & = & \int_0^\pi \textrm{sinc}(x/\pi) dx + \sum_{k=1}^n \int_0^\pi \frac{\sin(x+2\pi k)}{x+2\pi k} dx \\ & \geq & \int_0^\pi \textrm{sinc}(x/\pi) dx + \sum_{k=1}^n \int_0^\pi \frac{\sin(x)}{\pi + 2\pi k} dx \\ & = & \int_0^\pi \textrm{sinc}(x/\pi) dx + \sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi+2\pi k} \Bigg|_0^\pi -\cos(x) dx \\ & \geq & \int_0^\pi \textrm{sinc}(x/\pi) dx + \sum_{k=1}^n \frac{2}{2\pi(k+1)} \\ & = & \int_0^\pi \textrm{sinc}(x/\pi) dx + \frac{1}{\pi} \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} \ . \end{eqnarray} por cada $n > 0$ . La suma armónica diverge como $n \rightarrow \infty$ . Por lo tanto, el lado izquierdo es igual a $\infty$ . Esto demuestra la afirmación. Un análisis similar muestra que también la integral de la parte negativa diverge. Por tanto, la integral de Lebesgue tiene la forma $\infty - \infty$ que no está definida, es decir, la integral de Lebesgue de $\textrm{sinc}(x/\pi)$ no existe. Sin embargo, la integral de Lebesgue de $|\textrm{sinc}(x/\pi)|$ existe y es igual a $\infty$ .
La función $\textrm{sinc}(x/\pi)$ está acotada porque es continua en $[0,a]$ y, por lo tanto, está acotado allí y tiene una estimación del límite superior $\frac{1}{a}$ en $[a,\infty)$ . La divergencia no se debe a ninguna singularidad de $\textrm{sinc}(x/\pi)$ pero debido al factor de disminución demasiado lenta $\frac{1}{x}$ del integrando y la periodicidad de $\sin(x)$ .
