¿Cuántas funciones hay de un conjunto con $m$ a un conjunto con $n$ ¿elementos?

Question

Funciones de recuento

¿Cuántas funciones hay de un conjunto con $m$ a un conjunto con $n$ ¿elementos?

¿Por qué? $n^m$ ? Creo que debería ser una función.

Por favor, explique.

Answer 1

Sugerencia: Deja que $A$ sea el conjunto con $m$ elementos. Es bueno nombrar cada elemento, así que digamos $A=\{a_1,\dots,a_m\}$ . Sea $B$ sea el conjunto con $n$ elementos $B=\{b_1,\dots,b_n\}$ .

Una función $f:A\to B$ debe asignar cada elemento del dominio $A$ a algún elemento de $B$ . Una de estas funciones podría asignar cada elemento de $A$ a $b_1$ . $f(a)=b_1, \forall a\in A$ . Otro puede asignarlas todas a $b_2$ . Con estas funciones tenemos $n$ funciones ya.

Más o menos hay que elegir el $m$ emparejamientos de $A$ a $B$ . Es decir, hay que elegir entre $(a_i,b_j)$ para $i\in \{1,\dots,m\}$ y $j\in \{1,\dots,n\}$ .

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Ejemplo: Diga $m=2,n=3$ . Entonces tenemos $A=\{a_1,a_2\}, B=\{b_1,b_2,b_3\}$ . $$f_1(a_1)=b_1, f_1(a_2)=b_1$$ $$f_2(a_1)=b_1, f_2(a_2)=b_2$$ $$f_3(a_1)=b_1, f_3(a_2)=b_3$$ $$f_4(a_1)=b_2, f_4(a_2)=b_1$$ $$f_5(a_1)=b_2, f_5(a_2)=b_2$$ $$f_6(a_1)=b_2, f_6(a_2)=b_3$$ $$f_7(a_1)=b_3, f_7(a_2)=b_1$$ $$f_8(a_1)=b_3, f_8(a_2)=b_2$$ $$f_9(a_1)=b_3, f_9(a_2)=b_3$$

Así que cada fila de arriba te da una función $f_i:A\to B$ . Las únicas funciones uno a uno (es decir, inyectivas) aquí son $f_2,f_3,f_4,f_6,f_7,f_8$ .

Answer 2

Si $k=1$ entonces hay $n$ funciones ya que hay $n$ formas en las que un elemento puede ser mapeado para tomar un elemento como valor.

Si $k=2$ entonces hay $n \cdot n=n^2$ pares que pueden tomar dos variables. Para ver esto, hay $n$ pares de la forma $(a_1,b_i) ;i=1,2,,,n$ y luego $n$ pares de la forma $(a_2,b_i);i=1,2,...,n$ y así sucesivamente, hasta llegar a $n$ pares de la forma $(a_n,b_i);i=1,2,...,n$ Así que $n \cdot n=n^2$ en total.

...

Si $k=m$ entonces hay $n \cdot n \cdot ... \cdot n=n^m$ ( $n$ multiplicado $m-1$ veces) $m$ -tuplas que $m$ variables pueden tomar.

Answer 3

Imagina que la entrada tiene 5 elementos y la salida tiene 3 elementos. Eso significa que para cada uno de los 5 elementos, tenemos tres opciones disponibles. En general, eso significa que si tenemos m elementos de entrada y n elementos de salida, eso significa que para cada uno de los m elementos, tenemos n opciones.

Puedes imaginar algo así.

Como cada una de las m entradas tiene n opciones, podemos decir mediante la regla de la multiplicación, que el número total de funciones es $n^m$ .