El nullstellensatz combinatorio de Alon (¿o de Alon y Tarsi?) es una poderosa herramienta algebraica con muchas aplicaciones en combinatoria y teoría de números. Véase este , este , este y esta pregunta de mathoverflow .
Estoy buscando buenos ejemplos de resultados que hayan sido demostrados utilizando el nullstellensatz combinatorio (o su generalización) pero que no tengan ninguna otra demostración conocida.
He aquí un ejemplo de un bonito problema para el que no parece conocerse ninguna prueba combinatoria. Está relacionado con un problema estudiado en este trabajo https://arxiv.org/abs/1612.08698
Dejemos que $G$ ser un $d$ -(es decir, cada subgrafo contiene un vértice de grado como máximo). $d$ ). Un resultado clásico en la teoría de grafos es que si a cada vértice se le da una lista de $d+1$ colores, entonces cada vértice puede elegir un color de su lista tal que la coloración resultante sea adecuada.
Ahora, supongamos que cada vértice de $G$ se le da una lista de tamaño $d+1$ colores, excepto un vértice que tiene una lista de tamaño $d$ . Se puede demostrar con el nullstellensatz combinatorio que en este caso también, cada vértice puede ser coloreado con un color de su lista, tal que la coloración resultante de $G$ es adecuada (véase el artículo anterior, donde se demuestra un resultado más sólido cuando $d+1$ es primo, pero la prueba funciona en realidad en la configuración más débil para el $d$ ).
He trabajado en la búsqueda de una prueba combinatoria de este resultado, y conozco a varios otros investigadores del área que han estudiado este problema, sin éxito.
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