Para añadir la prueba de mi afirmación en la respuesta de Todd, que esencialmente repite los argumentos originales de Läuchli [1] con pequeñas modificaciones (y la adición de que el modelo resultante satisface $DC_\kappa$ ).
Demostraremos que es consistente tener un modelo en el que $DC_\kappa$ se mantiene, y hay un espacio vectorial sobre $\mathbb F_2$ que no tiene funcionales lineales.
Supongamos que $M$ es un modelo de $ZFA+AC$ y que $A$ el conjunto de átomos tiene $\lambda>\kappa$ muchos átomos, donde $\lambda$ es un cardenal regular. Dotar $A$ con una estructura de espacio vectorial sobre $\mathbb F=\mathbb F_2$ . Consideremos ahora el modelo de permutación $\frak M$ definido por el grupo de permutaciones lineales de $A$ y por ideal de soportes generados por subconjuntos de dimensión $\le\kappa$ .
Denota por $\operatorname{fix}(X)$ las permutaciones que fijan cada elemento de $X$ , por $\operatorname{sym}(X)$ las permutaciones que fijan $X$ como un conjunto, y por $[E]$ el lapso de $E$ como un subconjunto de $A$ . Decimos que $E\subseteq A$ es un apoyo de $X$ si $\pi\in\operatorname{fix}(E)\Rightarrow\pi\in\operatorname{sym}(X)$ .
Una última palabra de terminología, ya que $A$ desempeñará tanto el papel de conjunto de átomos como el de espacio vectorial, dado $U\subseteq A$ el complemento siempre denotará un complemento de conjunto, mientras que el complemento directo se utilizará para referirse a un subespacio lineal que actúa como sumando directo con $U$ en una descomposición de $A$ .
Reclamación 1: Si $E$ es un subconjunto de $A$ entonces $\operatorname{fix}(E)$ es lo mismo que $\operatorname{fix}([E])$ .
Prueba: Esto es obvio ya que todas las permutaciones consideradas son lineales. $\square$
A partir de esto podemos identificar $E$ con su tramo, y puesto que (en $M$ ) el $[E]$ tiene la misma cardinalidad de $E$ podemos concluir que sin pérdida de generalidad los soportes son subespacios.
Reclamación 2: $\frak M$$ \N - Modelos DC_\kappa$.
Prueba: Dejemos que $X$ sea un conjunto no vacío, y $\lt$ una relación binaria sobre $X$ , tanto en $\frak M$ . En $M$ podemos encontrar una función $f\colon\kappa\to X$ que testigo $DC_\kappa$ en $V$ .
Desde $\frak M$ es transitiva, tenemos que $\alpha,f(\alpha)\in\frak M$ y por lo tanto $\langle\alpha,f(\alpha)\rangle\in\frak M$ . Sea $E_\alpha$ ser un apoyo para $\lbrace\langle\alpha,f(\alpha)\rangle\rbrace$ entonces $\bigcup_{\alpha<\kappa} E_\alpha$ es un conjunto de cardinalidad $<\kappa^+$ y, por tanto, en nuestro ideal de apoyos. Es sencillo comprobar que se trata de un soporte de $f$ Por lo tanto $f\in\frak M$ como se quería. $\square$
Reclamación 3: Si $x,y\in A$ son distintos de cero (con respecto al espacio vectorial) entonces en $M$ existe una permutación lineal $\pi$ tal que $\pi x=y$ y $\pi y=x$ .
Prueba: Desde $x\neq y$ tenemos que son linealmente independientes sobre $\mathbb F$ . Dado que tenemos la posibilidad de elegir en $M$ podemos extender esto a una base de $A$ y tomar una permutación de esta base que sólo cambie $x$ y $y$ . Esta permutación se extiende de forma única a nuestro $\pi$ .
Reclamación 4: Si $U\subseteq A$ y $U\in\frak M$ entonces $U$ es un subconjunto de un subespacio lineal de dimensión como máximo $\kappa$ o un subconjunto del complemento de dicho espacio.
Prueba: Dejemos que $E$ ser un soporte de $U$ entonces todo automorfismo lineal de $A$ que fija $E$ conserva $U$ . Si $U\subseteq [E]$ entonces hemos terminado, de lo contrario dejemos $u\in U\setminus [E]$ y $v\in A\setminus [E]$ podemos definir (en $M$ donde existe la elección) una permutación lineal $\pi$ que fija $E$ y los interruptores $u$ con $v$ . Por eso tenemos que $\pi(U)=U$ por lo tanto $v\in U$ y así $U=A\setminus[E]$ como se quería. $\square$
Reclamación 5: Si $U\subseteq A$ es un subespacio lineal propio y $U\in\frak M$ entonces su dimensión es como máximo $\kappa$ .
Prueba: Supongamos que $U$ es un subespacio de $A$ y todo subconjunto linealmente independiente de $U$ de cardinalidad $\le\kappa$ no abarca $U$ mostraremos $A=U$ . Por la afirmación anterior tenemos que $U$ es el complemento de algún "pequeño" $[E]$ .
Ahora dejemos que $v\in A$ y $u\in U$ ambos vectores no nulos. Si $u+v\in U$ entonces $v\in U$ . Si $u+v\in [E]$ entonces $v\in U$ ya que de lo contrario $u=u+v+v\in[E]$ . Por lo tanto, $v\in U$ y así $A\subseteq U$ y por lo tanto $A=U$ como se quería. $\square$
Reclamación 6: Si $\varphi\colon A\to\mathbb F$ un funcional lineal entonces $\varphi = 0$ .
Prueba: Supongamos que no, para algunos $u\in A$ tenemos $\varphi(u)=1$ entonces $\varphi$ tiene un núcleo que es de co-dimensión $1$ que es un subespacio lineal propio y $A=\ker\varphi\oplus\lbrace 0,u\rbrace$ . Sin embargo por la afirmación anterior tenemos que $\ker\varphi$ tiene dimensión $\kappa$ como máximo, y sin el axioma de elección $\kappa+1=\kappa$ , derivando así la contradicción al hecho de que $A$ no está atravesado por $\kappa$ muchos vectores.
Las secuelas: En efecto, hubo algunos problemas en mi prueba original, después de un extenso trabajo en los últimos dos días llegué a una idea muy similar. Sin embargo, con la ayuda muy generosa de Theo Buehler que me ayudó a encontrar el documento original y a traducir partes, estudié la prueba original de Läuchli y concluí que sus argumentos son más elegantes y agradables que los míos.
Aunque esto no se puede trasladar a $ZF$ utilizando el teorema de incrustación de Jech-Sochor (ya que $DC_\kappa$ no es un enunciado acotado), no estoy seguro de que el teorema de transferencia de Pincus no funcione, ni de lo difícil que sería un argumento de forzamiento directo.
Por último, el modelo original de Läuchli es donde $\lambda=\aleph_0$ y pasa a demostrar que no hay endomorfismos no escalares. En el caso de que utilicemos $\mathbb F=\mathbb F_2$ y $\lambda=\aleph_0$ tenemos que este espacio vectorial es efectivamente amorfo, lo que a su vez implica que hay muy poca elección en dicho universo.
Bibliografía:
- Läuchli, H. Axioma de elección en álgebra. Commentarii Mathematici Helvetici , vol. 37, pp. 1-19.
