$4qx^3-3qx-p$ no es reducible sobre $\mathbb{Q}$

Question

Mostrar $4qx^3-3qx-p$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ , donde $\gcd(p,q)=1$ , $q>1$ y $q$ está libre de cubos.

Esta cuestión está estrechamente relacionada con la trisección de un ángulo es imposible bajo ciertas condiciones.

Answer 1

Si $f(x) := 4qx^3 - 3qx - p$ es reducible sobre $\mathbb{Q}$ entonces tiene una raíz racional $a/b$ (y WLOG $b \in \mathbb{N}$ , $\text{gcd}(a,b) = 1$ ). Por el teorema de la raíz racional, $a \mid p$ , $b \mid 4q$ . Tenemos $4q(\frac{a}{b})^3 - 3q(\frac{a}{b}) - p = 0$ y para llevar el término medio a $\mathbb{Z}$ multiplicamos por $4$ , para conseguir $16q(\frac{a}{b})^3 = 12q(\frac{a}{b}) + 4p$ . Entonces el lado derecho es un número entero, por lo que $b^3 \mid 16qa^3 \implies b^3 \mid 16q \implies b \mid 2$ . Desde $f(x)$ no tiene raíces enteras (ya que $\frac{p}{q} \not \in \mathbb{Z}$ ), $b = 2$ pero luego $4q(\frac{a}{2})^3 - 3q(\frac{a}{2}) - p = 0$ Así que $q(a^3 - 3a) = 2p$ . Pero $a^3 - 3a$ es siempre par, por lo que $p = q(\frac{a^3 - 3a}{2})$ , contradiciendo $\text{gcd}(p,q) = 1$ .

Como ha señalado, esto demuestra exactamente que si $\cos(\theta) = \frac{p}{q}$ ( $p$ y $q$ como arriba), entonces $\theta$ no es trisecable.

Answer 2

Si es reducible, debe tener una raíz, cuya raíz escribiremos como $r/s$ , un cociente de dos enteros en términos mínimos. Así que $$4qr^3-3qrs^2-ps^3=0$$ Ahora dejemos que $t$ sea un primo que divide a $q$ . Entonces $t$ debe dividir $ps^3$ pero $\gcd(p,q)=1$ Así que $t$ divide $s^3$ Así que $t$ divide $s$ Así que $t^3$ divide $s^3$ . Entonces $t^3$ también divide $3qrs^2$ , por lo que se divide $q$ . Esto contradice la suposición sobre $q$ Así que $q$ no es divisible por ningún primo; debemos tener $q=\pm1$ .

¿Puedes seguir a partir de ahí?