Conjunto denso de ninguna parte $P_{\alpha} \subset [0;1]$

Question

¿Es posible construir un conjunto denso cerrado en ninguna parte sin puntos aislados $P_{\alpha} \subset [0;1]$ tal que su medida de Lebesgue sería igual a cualquier valor $0 \le \alpha \le 1$ ?

Caso $\alpha = 1$ parece extremadamente cuestionable. Caso $\alpha = 0$ es un Conjunto Cantor .

P.D. ¿Existe una palabra inglesa para designar un conjunto cerrado sin puntos aislados?

Answer 1

Sí para todos, pero $\alpha=1$ . La construcción es exactamente la misma que la del conjunto de Cantor, sólo que en lugar de eliminar los intervalos cuyas medidas suman $1$ , se eliminan los intervalos cuyas medidas suman $1-\alpha$ .

Estos conjuntos se denominan "Conjuntos gordos de Cantor" o "Conjuntos de Cantor generalizados".