Dejemos que $\mathbf{TOP}$ sea la categoría de espacios topológicos y $\mathbf{HO(TOP)}$ sea la categoría cuyos objetos son espacios topológicos y los morfismos son clases de equivalencia de mapas continuos. Tenemos un functor canónico $q: \mathbf{TOP}\rightarrow \mathbf{HO(TOP)}$ que envía un objeto a sí mismo y un mapa a su clase de equivalencia.
Ahora estoy tratando de ver que este mapa tiene la propiedad universal de que si $F:\mathbf{TOP}\rightarrow C$ es un functor que envía equivalencias homotópicas a isomorfismos, entonces se extiende de forma única a un functor $F':\mathbf{HO(TOP)}\rightarrow C$ tal que $F=F'\circ q$ . Ahora para hacer esto necesito demostrar que si $f\cong f'$ entonces $F(f)=F(f')$ .
Ahora estoy un poco perdido en cómo lograr esto, incluso para un caso simple en el que asumo que $f\cong id$ entonces me gustaría ver que $F(f)=id$ . Sé que desde $f\cong id$ entonces $f$ es una equivalencia de homotopía y por tanto $F(f)$ es un isomorfismo y después de jugar con él y $F(f^k)$ No fui capaz de ver por qué tendría eso $F(f)=id$ .
Ahora no estoy seguro de si estoy confundiendo algo o simplemente me olvido de usar alguna propiedad, pero cualquier pista o ayuda se agradece. Gracias de antemano.
