Cual es la mejor aproximación a $e$?

Question

Deje $a_n = (1+1/n)^n$ y $b_n = (1+1/n)^{n+1}$. Tanto en $a_n \to e$ y $b_n \to e$, y $a_n < e < b_n$.

Una mejor aproximación a $e$ es conocido por ser $c_n = (1+1/n)^{n+1/2} = \sqrt{a_n b_n} $, la media geométrica de la aof $a_n$$b_n$.

Mi pregunta es: cómo acerca de $d_n = (a_n+b_n)/2$, la media aritmética de $a_n$$b_n$?

Es $d_n$ una mejor aproximación a $e$ de $c_n$?

Más precisamente, deje $r_n = \frac{c_n-e}{d_n-e}$. Qué $\lim_{n \to \infty} r_n$ existen? Si es así, es $0$, $\infty$, o de un número finito de valor? Si el límite es finito, ¿qué es?

¿Hay algún otro medio de $a_n$ $b_n$ (tales como la media armónica) el que lo hace mejor que cualquiera de los dos?

No, no he tratado de resolver estos aún. Pensé que sería interesante pregunta.

Puntos Extra si la respuesta qué $not$ uso de la expansión de $\ln(1\pm x)$ o $e^x$.

Answer 1

Sólo necesitamos de tercer orden aproximaciones para resolver esto:

$$\ln a_n = n \ln(1 + 1/n) = n(1/n - 1/2n^2 + 1/3n^3 + O(1/n^4)) = 1 - 1/2n + 1/3n^2 + O(1/n^3).$$ $$\ln b_n = (n+1)(1/n - 1/2n^2 + 1/3n^3 + O(1/n^4)) = 1 + 1/2n - 1/6n^2 + O(1/n^3).$$ $$\ln c_n = \tfrac12 (\ln a_n + \ln b_n) = 1 + 1/12n^2 + O(1/n^3).$$

Para obtener asymptotics para $d_n$, expanda $a_n = e \exp(\ln a_n - 1) = e( 1 - 1/2n + 11/24n^2 + O(1/n^3))$ y $b_n = e \exp(\ln b_n - 1) = e(1 + 1/2n - 1/24n^2 + O(1/n^3))$, a ver que

$$d_n = e(1 + 5/24n^2 + O(1/n^3)),\text{ while }c_n = e(1 + 1/12n^2 + O(1/n^3)).$$

Esto explica por qué la $c_n$ es la mejor aproximación por un factor de $2/5$.

Una mejor aproximación sería $(\tfrac12a_n^p + \tfrac12b_n^p)^{1/p}$$p=-2/3$, lo que cancela el segundo fin de plazo. Arce cálculos muestran que este hecho también se cancela el tercer fin de plazo y que el coeficiente de $n^{-4}$ es muy pequeña (del orden de $1/10000$), por lo que esta aproximación es sorprendentemente bueno!

Para $n=100$ obtenemos $2.718281828463159$, bueno 10 decimales y disparando para el 11.