Aplicación del criterio de Schönemann-Eisenstein

Question

Dejemos que $P\in \mathbb{Z}[x]$ sea un polinomio de grado 2011. ¿Puedes demostrar que hay una cantidad infinita de tales polinomios, tales que $P$ y $P+2$ ¿permanece irreducible?

$x^{2011}+15ax+3$ es un polinomio de grado 2011. Por Schönemann-Eisenstein, se deduce que debe ser irreducible ya que: 3 no divide $1$ 9 no divide a 3, pero $3|15$ . Así que esto es irreducible sobre $\mathbb{Q}[x]$ . También se deduce que 25 respectivamente 5 no divide $5$ respectivamente $1$ pero divide 15 para todos $a\in \mathbb{N}$ por lo que al utilizar 5 como primo se deduce que P+2 también es irreducible.

El libro pide polinomios en $\mathbb{Z}[x]$ Lo he mostrado para $\mathbb{Q}[x]$ . El lema de Gauss establece que si es para números enteros sólo sobre $\mathbb{Q}[x]$ También cuenta para $\mathbb{Z}[x]$

¿Es correcto mi razonamiento? Por favor, dígalo

Answer 1

Para complicar las cosas, demostramos un resultado sobre polinomios que tienen una forma muy parecida a la descrita por el OP.

Demostraremos que hay infinitos polinomios irreducibles $x^{2011} +p(p+2)x+p$ con $p$ primo y $x^{2011} +p(p+2)x+p+2$ irreducible. Para cada uno de estos dos polinomios, la prueba de irreducibilidad utiliza el criterio de Eisenstein.

Un posible enfoque es demostrar que $p+2$ es primo para infinitos primos $p$ . Entonces, como en el ejemplo del OP, $x^{2011} +p(p+2)x+p$ y
$x^{2011} +p(p+2)x+p+2$ son ambos irreducibles por el Criterio de Eisenstein. Sin embargo, esto requiere demostrar la conjetura de los primos gemelos, por lo que no es el camino más fácil.

En cambio, recuerda que un número $n$ se llama potente(l) si para cada primo $q$ que divide $n$ su cuadrado $q^2$ divide $n$ . Los números potentes son relativamente escasos. Hay una constante $C$ tal que el número de números potentes menores que $x$ es menor que $Cx^{1/2}$ (véase, por ejemplo, el Artículo de Wikipedia).

Como los primos tienen una densidad asintótica mucho mayor que los números poderosos, hay infinitos primos $p$ tal que $p+2$ no es potente. De hecho, para la "mayoría" de los primos $p$ el número $p+2$ no es poderoso. Deja que $p$ sea cualquier primo tal que $p+2$ no es un número poderoso.

Entonces $x^{2011}+p(p+2)+p$ y $x^{2011}+p(p+2)+p+2$ son ambos irreducibles. Para el segundo polinomio, utilizamos el criterio de Eisenstein con $q$ cualquier primo que divida $p+2$ pero cuyo cuadrado no divide $p+2$ . Hay un primer $q$ desde $p+2$ no es poderoso.

Comentario: La prueba en principio es de irreducibilidad sobre $\mathbb{Q}[x]$ . Pero la irreducibilidad sobre $\mathbb{Z}[X]$ es una consecuencia inmediata, ya que nuestro polinomio es mónico, y en consecuencia el $\gcd$ de los coeficientes es $1$ .

Utilizando Chen primes podemos encontrar infinitos primos $p$ tal que $p+2$ es primo o tiene como máximo dos factores primos. Eso es lo más cercano que podemos llegar a imitar su $3$ , $5$ ejemplo.

Answer 2

Estimado VVV tu ejemplo es muy bonito, y tus polinomios son irreducibles sobre $\mathbb Z$ .
El criterio de Schönemann-Eisenstein tiene una sutileza:

1) El criterio de Schönemann-Eisenstein sólo da irreductibilidad en $\mathbb Q[X]$ .
Por ejemplo, puede aplicarlo a $f(X)=2X^2+6$ con $p=3$ El criterio le dirá que $f(X)$ es irreducible en $\mathbb Q[X]$ .
Sin embargo, $f(X)$ no es irreducible en $\mathbb Z[X]$ porque ahí tienes una auténtica factorización $2X^2+6=(2).(X^2+3)$ .
La aparente paradoja se explica por el hecho de que $2$ no es invertible en $\mathbb Z[X]$ pero es invertible en $\mathbb Q[X]$

2) Sin embargo, en su caso, sus polinomios son también irreducible sobre $\mathbb Z$ debido al siguiente resultado:

Dado un polinomio $f(X)\in A[X]$ donde $A$ es un UFD con campo de fracción $K$ tenemos la equivalencia:
$ f(X)$ es irreducible en $A[X]$
$ \iff $
$f(X)$ es irreducible en $K[X]$ y ningún elemento primo en $A $ divide todos los coeficientes de $f(X) $