Pagos de anualidades $2n = n$

Question

Tengo problemas con esta pregunta:

Para una anualidad de $3n$ pagos de igual importe a un tipo de interés periódico $i$ se encuentra que un período antes del primer pago el valor presente del primer $n$ es igual al valor actual de los pagos finales $2n$ pagos. ¿Cuál es el valor de $v^n$ ?

Mis pensamientos son hacer $a_n = a_{2n}$ pero no sé si eso es correcto

Me sale $(1-v^n)/i = (1-v^{2n})/i$ .

Answer 1

En el punto de valoración indicado, el valor actual del primer $n$ los pagos vienen dados por $$K a_{\overline{n}\rceil i} = K \frac{1 - v^n}{i}$$ donde $K$ es el importe del pago de nivel por período, $v = (1+i)^{-1}$ es el factor de descuento del valor actual, y $i$ es el tipo de interés periódico efectivo. El valor actual de la $2n$ pagos es $$K \,_{n|} a_{\overline{2n}\rceil i} = K v^n \frac{1 - v^{2n}}{i},$$ porque el final $2n$ pagos es aplazado por $n$ pagos. Para ver esto con más claridad, escriba el flujo de caja: $$PV = (Kv + Kv^2 + \cdots + Kv^n) + (Kv^{n+1} + Kv^{n+2} + \cdots + Kv^{3n}).$$ La primera $n$ pagos y el final $2n$ Los pagos se agrupan. Entonces vemos que el segundo grupo puede ser factorizado como $$Kv^n (v + v^2 + \cdots + v^{2n}).$$ Por lo tanto, la ecuación a resolver es $$1-v^n = v^n(1-v^{2n}).$$ Se trata de un polinomio cúbico en $v^n$ : $$(v^n)^3 - 2(v^n) + 1 = 0.$$ Es un ejercicio fácil demostrar que la única raíz para la que el tipo de interés y el número de pagos resultantes tienen sentido es cuando $v^n = (\sqrt{5}-1)/2$ . Sin embargo, sin más información sobre el valor de $i$ no es posible proporcionar una solución entera única para $n$ . Por ejemplo, si $i \approx 0.173985$ entonces $n = 3$ pero si $i \approx 0.0134567$ entonces $n = 36$ .