Dejemos que $a_n=(1+\frac{1}{n})^n$ , demuestran que $\lim_{n\to\infty}n(e-a_n)\geq \frac e2$ .

Question

Dejemos que $a_n=(1+\frac{1}{n})^n$ , demuestran que $$\lim_{n\to\infty}n(e-a_n)\geq \frac e2.$$

Sabemos fácilmente por el cálculo que $\lim_{n\to\infty}n(e-a_n)=\frac e2$ . Sin embargo, podemos dar una prueba más sencilla sin utilizar el límite funcional, sino sólo la siguiente prosición.

si $a_n>b_n$ para grandes $n$ entonces $\lim a_n\geq \lim b_n$ .

Lo que debería es considerar $n(a_{n^2}-a_n)$ y mostrar que es $\geq \frac e2$ . Pero parece que no es fácil comparar $a_{n^2}$ y $a_n$ .

Answer 1

Tenemos \begin{align*} \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n & = \exp \left( {n\log \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \right) = \exp \left( {1 - \frac{1}{{2n}} + \frac{1}{{3n^2 }} - \cdots } \right) \\ & > \exp \left( {1 - \frac{1}{{2n}}} \right) = e\exp \left( - \frac{1}{{2n}} \right) > e\left( {1 - \frac{1}{{2n}}} \right), \end{align*} es decir, $$ n\left( {e - \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n } \right) < \frac{e}{2}. $$ Así, $$ \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\left( {e - \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n } \right) \le \frac{e}{2}, $$ es decir, la desigualdad está en el orden inverso. Como, de hecho, se trata de una igualdad, tu afirmación también es correcta.